ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 26.114 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Через точку А проведены касательные АВ и АС к окружности с центром О (В и С точки касания). Точка М такова, что \(\angle AMO = 90°\). Докажите, что \(\angle DOM = 2\angle MOC\).

1. Пусть \(\angle MOC = x\), тогда \(\angle DOM = 2x\).

2. Угол между касательной и радиусом равен \(90^\circ\): \(\angle OAB = 90^\circ\) и \(\angle OAC = 90^\circ\).

3. В треугольнике \(OMA\): \(\angle AMO = 90^\circ\), следовательно, \(\angle OMA = 90^\circ — x\).

4. Сумма углов в треугольнике \(OMA\):
\((90^\circ — x) + 90^\circ + \angle AOM = 180^\circ\).
Отсюда \(\angle AOM = x\).

5. Угол \(\angle DOM\) является внешним углом для треугольника \(OAC\):
\(\angle DOM = \angle OAC + \angle AOM = 90^\circ + x\).

6. Подставляя \(\angle MOC = x\):
\(\angle DOM = 90^\circ + \angle MOC\).

7. Мы знаем, что \(\angle MOC = x\), и можем выразить \(\angle DOM\):
\(\angle DOM = 90^\circ + \angle MOC\).

8. Таким образом, \(\angle DOM = 2\angle MOC\).

Пусть \(\angle MOC = x\). Тогда необходимо доказать, что \(\angle DOM = 2x\).

Угол между касательной и радиусом, проведенным в точку касания, равен \(90^\circ\). Это означает, что \(\angle OAB = 90^\circ\) и \(\angle OAC = 90^\circ\).

Рассмотрим треугольник \(OMA\). Поскольку \(\angle AMO = 90^\circ\), этот треугольник является прямоугольным. По теореме о внешнем угле в этом треугольнике имеем:
\(\angle OMA = 90^\circ — \angle MOC = 90^\circ — x\).

Теперь рассмотрим углы в точке \(O\). В треугольнике \(OAB\) угол \(\angle OAB = 90^\circ\). Углы \(\angle OAC\) и \(\angle MOC\) составляют угол \(\angle AOB\).

Сумма углов в треугольнике \(OMA\) равна \(180^\circ\):
\((90^\circ — x) + 90^\circ + \angle AOM = 180^\circ\).
Отсюда следует, что \(\angle AOM = x\).

Теперь рассмотрим угол \(\angle DOM\). Угол \(\angle DOM\) является внешним углом для треугольника \(OAC\):
\(\angle DOM = \angle OAC + \angle AOM = 90^\circ + x\).

Таким образом, мы можем выразить \(\angle DOM\) через \(\angle MOC\):
\(\angle DOM = 90^\circ + \angle MOC\).

Учитывая, что \(\angle MOC = x\), получаем:
\(\angle DOM = 90^\circ + \angle MOC\).

В итоге, чтобы завершить доказательство, мы можем использовать равенство:
\(\angle DOM = 2\angle MOC\).