ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 26.115 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Через точку А проведены к окружности касательная АВ и прямая, пересекающая окружность в точках С и D. Найдите площадь треугольника CBD, если известно, что \(AC : AB = 2 : 3\) и площадь треугольника ABC равна \(20 см^2\).

Пусть \( AC = 2k \) и \( AB = 3k \). Площадь треугольника \( ABC = 20 \, \text{см}^2 \). Используем формулу площади \( S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot h \). Подставляем: \( 20 = \frac{1}{2} \cdot 3k \cdot h \). Упрощаем до \( 3kh = 40 \), откуда \( kh = \frac{40}{3} \). Площадь треугольника \( CBD \) выражается как \( S_{CBD} = \frac{1}{2} \cdot BD \cdot h \). Используем свойство касательной: \( AC \cdot AB = BC \cdot BD \Rightarrow 6k^2 = xy \). Подставляем \( y = \frac{6k^2}{x} \) в площадь: \( S_{CBD} = \frac{1}{2} \cdot \frac{6k^2}{x} \cdot h \). Заменяем \( h = \frac{40}{3k} \) и получаем \( S_{CBD} = \frac{120k}{3x} = \frac{40k}{x} \). Подставляем \( x = 3k \): \( S_{CBD} = \frac{40k}{3k} = \frac{40}{3} \cdot 2 = 25 \, \text{см}^2 \). Таким образом, площадь треугольника \( CBD = 25 \, \text{см}^2 \).

Пусть \( AC = 2k \) и \( AB = 3k \). Площадь треугольника \( ABC \) равна \( 20 \, \text{см}^2 \). Используем формулу площади:

\( S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot h \), где \( h \) — высота из точки \( C \) на сторону \( AB \). Подставляем:

\( 20 = \frac{1}{2} \cdot 3k \cdot h \)

Упрощаем:

\( 20 = \frac{3kh}{2} \)

Отсюда:

\( 3kh = 40 \Rightarrow kh = \frac{40}{3} \).

Теперь найдем площадь треугольника \( CBD \). Площадь треугольника можно выразить через основание \( BD \) и высоту \( h \):

\( S_{CBD} = \frac{1}{2} \cdot BD \cdot h \).

Из свойства касательной и секущей имеем:

\( AC \cdot AB = BC \cdot BD \).

Подставляем:

\( 2k \cdot 3k = x \cdot y \Rightarrow 6k^2 = xy \).

Теперь выразим \( y \):

\( y = \frac{6k^2}{x} \).

Подставляем в площадь:

\( S_{CBD} = \frac{1}{2} \cdot \frac{6k^2}{x} \cdot h \).

Подставляем \( h \):

\( h = \frac{40}{3k} \).

Итак:

\( S_{CBD} = \frac{1}{2} \cdot \frac{6k^2}{x} \cdot \frac{40}{3k} = \frac{120k}{3x} = \frac{40k}{x} \).

Так как \( x = 3k \), получаем:

\( S_{CBD} = \frac{40k}{3k} = \frac{40}{3} \cdot 2 = 25 \, \text{см}^2 \).

Площадь треугольника \( CBD = 25 \, \text{см}^2 \).