ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 26.116 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Отрезки АВ и АС хорды одной окружности. Точки М и N середины дуг АВ и АС. Докажите, что прямая MN отсекает на хордах АВ и АС равные отрезки, считая от точки А.

Прямая \( MN \) отсекает на хордах \( AB \) и \( AC \) равные отрезки \( AP = AQ \). Доказательство основано на подобии треугольников \( AMB \) и \( ANC \), где \( \frac{AP}{AQ} = \frac{AB}{AC} \) и \( AB = AC \).

Рассмотрим окружность с центром \( O \) и хорды \( AB \) и \( AC \). Обозначим \( M \) и \( N \) как середины дуг \( AB \) и \( AC \) соответственно.

Поскольку \( M \) и \( N \) — середины дуг, углы \( \angle AMB \) и \( \angle ANC \) равны, то есть \( \angle AMB = \angle ANC \). Это происходит потому, что они опираются на равные дуги.

Треугольники \( AMB \) и \( ANC \) имеют общую сторону \( AO \) и равные углы \( \angle AMB \) и \( \angle ANC \). Таким образом, треугольники подобны по двум углам, что можно записать как:

\[
\frac{AB}{AC} = \frac{AM}{AN}
\]

Обозначим отрезки, которые отсекает прямая \( MN \), как \( AP \) и \( AQ \), где \( P \) и \( Q \) — точки пересечения прямой \( MN \) с хордами \( AB \) и \( AC \).

Согласно подобию треугольников, имеем:

\[
\frac{AP}{AQ} = \frac{AB}{AC}
\]

Так как \( AB \) и \( AC \) являются хордами одной окружности и \( M \) и \( N \) — середины дуг, то \( AB = AC \). Следовательно:

\[
\frac{AP}{AQ} = 1
\]

Это означает, что \( AP = AQ \). Таким образом, прямая \( MN \) отсекает на хордах \( AB \) и \( AC \) равные отрезки, считая от точки \( A \).