ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 26.117 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Окружности \(S_1\) и \(S_2\) пересекаются в точке А. Через точку А проведена прямая, пересекающая \(S_1\) в точке B, \(S_2\) в точке С. В точках С и В проведены касательные к окружностям, пересекающиеся в точке D. Докажите, что угол \(\angle BDC\) не зависит от выбора прямой, проходящей через точку А.

Угол \(\angle BDC\) не зависит от выбора прямой, проходящей через точку A, так как он равен сумме углов \(\angle O_1BT_1\) и \(\angle O_2CT_2\), которые всегда равны \(90^\circ\).

Рассмотрим окружности \(S_1\) и \(S_2\), которые пересекаются в точке \(A\). Через точку \(A\) проведем прямую, которая пересекает окружность \(S_1\) в точке \(B\) и окружность \(S_2\) в точке \(C\). В точках \(B\) и \(C\) проведем касательные к окружностям, которые пересекаются в точке \(D\).

По свойству касательных, угол между касательной и радиусом, проведенным в точку касания, равен \(90^\circ\). Таким образом, для точки \(B\) имеем:

\(\angle O_1BT_1 = 90^\circ\), где \(T_1\) — точка касания касательной из \(B\) к окружности \(S_1\).

Аналогично для точки \(C\):

\(\angle O_2CT_2 = 90^\circ\), где \(T_2\) — точка касания касательной из \(C\) к окружности \(S_2\).

Угол \(\angle BDC\) можно выразить через углы, образованные радиусами и касательными:

\(\angle BDC = \angle O_1BT_1 + \angle O_2CT_2\).

Поскольку оба угла равны \(90^\circ\), то:

\(\angle BDC = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ\).

Таким образом, угол \(\angle BDC\) остается постоянным и не зависит от выбора прямой, проходящей через точку \(A\).