ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 26.118 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы
Две окружности пересекаются в точках А и В. Через точку А к этим окружностям проведены касательные АМ и AN (М и N точки касания). Докажите, что:
1) \(\angle ABN + \angle MAN = 180°\);
2) \(\frac{BM}{BN} = \frac{AM}{AN}\).
1) \( \angle ABN + \angle MAN = 180^\circ \)
2) \( \frac{BM}{BN} = \frac{AM}{AN} \)
1) Рассмотрим угол \( \angle ABN \). Он образован хордой \( AB \) и касательной \( BN \) к одной из окружностей. По свойству касательных угол между касательной и хордой равен углу, противолежащему углу, образованному хордой и касательной другой окружности. Таким образом, \( \angle ABN \) равен углу при точке касания \( A \) и хордой \( AN \), то есть \( \angle MAN \).
2) Углы \( \angle ABN \) и \( \angle MAN \) являются смежными, поскольку они образованы одной и той же прямой, проходящей через точки \( A \) и \( B \). Следовательно, \( \angle ABN + \angle MAN = 180^\circ \).
3) Теперь рассмотрим треугольники \( ABM \) и \( ABN \). Из точки \( A \) проведены касательные \( AM \) и \( AN \) к окружностям, соответственно. По свойству касательных длины касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны, то есть \( AM = AN \).
4) В треугольниках \( ABM \) и \( ABN \) углы \( \angle ABM \) и \( \angle ABN \) равны, так как они образованы одной и той же хордой \( AB \) и касательными. Это означает, что треугольники \( ABM \) и \( ABN \) подобны.
5) Из подобия треугольников следует, что \( \frac{BM}{BN} = \frac{AM}{AN} \).
6) Поскольку \( AM = AN \), то \( \frac{BM}{BN} = \frac{AM}{AN} \) также равно \( 1 \).
Таким образом, оба утверждения доказаны: \( \angle ABN + \angle MAN = 180^\circ \) и \( \frac{BM}{BN} = \frac{AM}{AN} \).