1-11 класс
  • 1-11 класс
  • 1 класс
  • 2 класс
  • 3 класс
  • 4 класс
  • 5 класс
  • 6 класс
  • 7 класс
  • 8 класс
  • 9 класс
  • 10 класс
  • 11 класс
Выберите класс
Предметы
ГДЗ по Геометрии 9 Класс Углубленный уровень Учебник 📕 Мерзляк, Поляков — Все Части
Геометрия
9 класс углубленный уровень учебник Мерзляк
9 класс
Тип
Гдз, Решебник.
Авторы
Мерзляк А.Г., Поляков В.М.
Год
2019-2022
Издательство
Вентана-граф
Описание

ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 26.118 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Задача

Две окружности пересекаются в точках А и В. Через точку А к этим окружностям проведены касательные АМ и AN (М и N точки касания). Докажите, что:

1) \(\angle ABN + \angle MAN = 180°\);

2) \(\frac{BM}{BN} = \frac{AM}{AN}\).

Краткий ответ:

1) \( \angle ABN + \angle MAN = 180^\circ \)

2) \( \frac{BM}{BN} = \frac{AM}{AN} \)

Подробный ответ:

1) Рассмотрим угол \( \angle ABN \). Он образован хордой \( AB \) и касательной \( BN \) к одной из окружностей. По свойству касательных угол между касательной и хордой равен углу, противолежащему углу, образованному хордой и касательной другой окружности. Таким образом, \( \angle ABN \) равен углу при точке касания \( A \) и хордой \( AN \), то есть \( \angle MAN \).

2) Углы \( \angle ABN \) и \( \angle MAN \) являются смежными, поскольку они образованы одной и той же прямой, проходящей через точки \( A \) и \( B \). Следовательно, \( \angle ABN + \angle MAN = 180^\circ \).

3) Теперь рассмотрим треугольники \( ABM \) и \( ABN \). Из точки \( A \) проведены касательные \( AM \) и \( AN \) к окружностям, соответственно. По свойству касательных длины касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны, то есть \( AM = AN \).

4) В треугольниках \( ABM \) и \( ABN \) углы \( \angle ABM \) и \( \angle ABN \) равны, так как они образованы одной и той же хордой \( AB \) и касательными. Это означает, что треугольники \( ABM \) и \( ABN \) подобны.

5) Из подобия треугольников следует, что \( \frac{BM}{BN} = \frac{AM}{AN} \).

6) Поскольку \( AM = AN \), то \( \frac{BM}{BN} = \frac{AM}{AN} \) также равно \( 1 \).

Таким образом, оба утверждения доказаны: \( \angle ABN + \angle MAN = 180^\circ \) и \( \frac{BM}{BN} = \frac{AM}{AN} \).



Общая оценка
4.2 / 5
Комментарии
Другие учебники
Другие предметы