ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 26.119 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

На окружности даны точки А, В и С, причём расстояние от точки В до прямой, касающейся окружности в точке А, больше расстояния от точки С до этой прямой. Прямая АС пересекает прямую, проведённую через точку В параллельно прямой \(l\), в точке D. Докажите, что \(AB^2 = AC AD\).

Дано: точки \( A, B, C \) на окружности, прямая \( l \) касается окружности в точке \( A \). Расстояние от \( B \) до \( l \) больше расстояния от \( C \) до \( l \). Прямая \( AC \) пересекает прямую, проведённую через \( B \) параллельно \( l \), в точке \( D \).

1. Углы \( \angle ABD \) и \( \angle CAD \) равны, так как они соответствующие при параллельных прямых.
2. Треугольники \( ABD \) и \( CAD \) подобны по углам.
3. Из подобия треугольников следует, что \( \frac{AB}{AC} = \frac{AD}{AB} \).
4. Умножаем обе стороны на \( AB \): \( AB^2 = AC \cdot AD \).

Таким образом, получаем \( AB^2 = AC \cdot AD \).

Дано: окружность с центром \( O \) и радиусом \( R \). Прямая \( l \) касается окружности в точке \( A \). Рассмотрим точки \( B \) и \( C \), которые находятся вне окружности, и расстояния от этих точек до прямой \( l \). Обозначим расстояние от точки \( B \) до прямой \( l \) как \( d_B \) и от точки \( C \) до прямой \( l \) как \( d_C \). Условие задачи гласит, что \( d_B > d_C \).

Проведём прямую, параллельную \( l \), через точку \( B \). Эта прямая пересекает прямую \( AC \) в точке \( D \). Углы \( \angle ABD \) и \( \angle CAD \) являются соответствующими углами, так как \( l \) и прямая, проведённая через \( B \), параллельны. Это свойство углов позволяет утверждать, что \( \angle ABD = \angle CAD \).

Так как треугольники \( ABD \) и \( CAD \) имеют равные углы, они подобны. Из подобия треугольников можно записать соотношение: \( \frac{AB}{AC} = \frac{AD}{AB} \). Умножив обе стороны на \( AB \), получаем \( AB^2 = AC \cdot AD \). Это и есть искомое отношение, которое мы искали, и оно подтверждает, что произведение отрезков, проведённых из точки касания к другим точкам, равно квадрату длины отрезка, проведённого из точки касания к точке \( B \).