ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 26.126 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что треугольник, вершинами которого являются точки A (5; 1), B (9; –2), C (7; 2), — прямоугольный, и составьте уравнение окружности, описанной около него.

Длина стороны \( AB = \sqrt{(9 — 5)^2 + (-2 — 1)^2} = \sqrt{25} = 5 \).
Длина стороны \( BC = \sqrt{(7 — 9)^2 + (2 — (-2))^2} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \).
Длина стороны \( AC = \sqrt{(7 — 5)^2 + (2 — 1)^2} = \sqrt{5} \).
Проверка: \( AB^2 = BC^2 + AC^2 \) даёт \( 25 = 20 + 5 \).
Центр окружности: \( M(7, -0.5) \).
Радиус: \( R = \frac{5}{2} = 2.5 \).
Уравнение окружности: \( (x — 7)^2 + (y + 0.5)^2 = 6.25 \).

Дано: точки \( A(5, 1) \), \( B(9, -2) \), \( C(7, 2) \).

Сначала вычислим длины сторон треугольника.

Длина стороны \( AB \):

\(
AB = \sqrt{(9 — 5)^2 + (-2 — 1)^2} = \sqrt{(4)^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5
\)

Длина стороны \( BC \):

\(
BC = \sqrt{(7 — 9)^2 + (2 — (-2))^2} = \sqrt{(-2)^2 + (4)^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}
\)

Длина стороны \( AC \):

\(
AC = \sqrt{(7 — 5)^2 + (2 — 1)^2} = \sqrt{(2)^2 + (1)^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}
\)

Теперь проверим, является ли треугольник прямоугольным, используя теорему Пифагора. Для этого проверим:

\(
AB^2 = BC^2 + AC^2
\)

Подставим значения:

\(
5^2 = (2\sqrt{5})^2 + (\sqrt{5})^2
\)

Вычислим:

\(
25 = 20 + 5
\)

Поскольку равенство верно, треугольник \( ABC \) является прямоугольным.

Теперь найдем радиус описанной окружности \( R \). Для прямоугольного треугольника радиус описанной окружности равен половине длины гипотенузы:

\(
R = \frac{c}{2}
\)

где \( c = AB = 5 \):

\(
R = \frac{5}{2} = 2.5
\)

Центр описанной окружности находится на середине гипотенузы \( AB \):

Координаты середины \( M \):

\(
M = \left( \frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2} \right) = \left( \frac{5 + 9}{2}, \frac{1 + (-2)}{2} \right) = \left( 7, -0.5 \right)
\)

Теперь запишем уравнение окружности в общем виде:

\(
(x — x_0)^2 + (y — y_0)^2 = R^2
\)

Подставим значения:

\(
(x — 7)^2 + (y + 0.5)^2 = (2.5)^2
\)

Упрощаем уравнение:

\(
(x — 7)^2 + (y + 0.5)^2 = 6.25
\)