ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 26.127 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Окружность, центр которой принадлежит оси ординат, проходит через точки A (1; 2) и B (3; 6). Принадлежит ли этой окружности точка C (–3; 4)?

Центр окружности: \( (0, 5) \), радиус: \( r = \sqrt{10} \). Уравнение окружности: \( x^2 + (y — 5)^2 = 10 \). Для точки C \( (-3, 4) \): \( (-3)^2 + (4 — 5)^2 = 9 + 1 = 10 \). Точка C принадлежит окружности. Да.

Центр окружности находится на оси ординат, следовательно, его координаты имеют вид \( (0, b) \). Окружность проходит через точки A \( (1, 2) \) и B \( (3, 6) \).

Запишем уравнение окружности: \( x^2 + (y — b)^2 = r^2 \).

Подставим координаты точки A в уравнение:

\( 1^2 + (2 — b)^2 = r^2 \)

\( 1 + (2 — b)^2 = r^2 \)

Подставим координаты точки B в уравнение:

\( 3^2 + (6 — b)^2 = r^2 \)

\( 9 + (6 — b)^2 = r^2 \)

Теперь приравняем оба уравнения:

\( 1 + (2 — b)^2 = 9 + (6 — b)^2 \).

Раскроем скобки:

\( 1 + (4 — 4b + b^2) = 9 + (36 — 12b + b^2) \).

Упростим уравнение:

\( 5 — 4b = 45 — 12b \).

Переносим все члены на одну сторону:

\( 12b — 4b = 45 — 5 \)

\( 8b = 40 \)

\( b = 5 \).

Теперь найдем радиус \( r \):

\( r^2 = 1 + (2 — 5)^2 \)

\( r^2 = 1 + 9 = 10 \).

Или:

\( r^2 = 9 + (6 — 5)^2 \)

\( r^2 = 9 + 1 = 10 \).

Уравнение окружности: \( x^2 + (y — 5)^2 = 10 \).

Теперь проверим, принадлежит ли точка C \( (-3, 4) \) окружности:

Подставим координаты точки C:

\( (-3)^2 + (4 — 5)^2 = 9 + 1 = 10 \).

Поскольку левая сторона равна правой стороне уравнения, точка C принадлежит окружности. Да.