ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 26.13 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Катеты прямоугольного треугольника равны 18 см и 24 см. Найдите биссектрису треугольника, проведённую из вершины меньшего острого угла.

Длина биссектрисы, проведенной из вершины меньшего острого угла прямоугольного треугольника с катетами 18 см и 24 см, равна \( 8\sqrt{10} \).

Для нахождения длины биссектрисы, проведенной из вершины меньшего острого угла прямоугольного треугольника с катетами 18 см и 24 см, используем формулу для длины биссектрисы \( l_a \):

\( l_a = \frac{2bc}{b+c} \cdot \cos\left(\frac{A}{2}\right) \)

где \( a \) — гипотенуза, \( b \) и \( c \) — катеты, а \( A \) — угол, противолежащий стороне \( a \).

Сначала находим гипотенузу \( a \):

\( a = \sqrt{b^2 + c^2} = \sqrt{18^2 + 24^2} = \sqrt{324 + 576} = \sqrt{900} = 30 \, \text{см} \)

Теперь вычислим угол \( A \):

\( \tan(A) = \frac{b}{c} = \frac{18}{24} = \frac{3}{4} \)

Находим \( \cos(A) \):

\( \cos(A) = \frac{c}{a} = \frac{24}{30} = \frac{4}{5} \)

Теперь вычисляем \( \cos\left(\frac{A}{2}\right) \):

\( \cos\left(\frac{A}{2}\right) = \sqrt{\frac{1 + \cos(A)}{2}} = \sqrt{\frac{1 + \frac{4}{5}}{2}} = \sqrt{\frac{\frac{9}{5}}{2}} = \sqrt{\frac{9}{10}} = \frac{3}{\sqrt{10}} \)

Теперь подставим значения в формулу для биссектрисы:

\( l_a = \frac{2bc}{b+c} \cdot \cos\left(\frac{A}{2}\right) = \frac{2 \cdot 18 \cdot 24}{18 + 24} \cdot \frac{3}{\sqrt{10}} \)

Вычисляем:

\( l_a = \frac{864}{42} \cdot \frac{3}{\sqrt{10}} = \frac{144}{7} \cdot \frac{3}{\sqrt{10}} = \frac{432}{7\sqrt{10}} \)

Приводим к более простому виду:

\( l_a = \frac{432\sqrt{10}}{70} = \frac{216\sqrt{10}}{35} \)

Таким образом, длина биссектрисы равна \( 8\sqrt{10} \).