ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 26.134 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы
На сторонах АВ и ВС треугольника АВС отмечены такие точки D и E соответственно, что \(AD : DC = 1 : 2, BE : EC = 2 : 1\). Выразите:
1) векторы ВС, АВ, АС, АЕ и CD через векторы \(BE = a\) и \(AD = b\);
2) векторы АВ, ВС и АС через векторы \(AE = a\) и \(CD = b\).
1. \( \overrightarrow{BC} = \frac{3}{2} \vec{a} \)
\( \overrightarrow{AB} = 3 \vec{b} — \frac{3}{2} \vec{a} \)
\( \overrightarrow{AC} = 3 \vec{b} \)
\( \overrightarrow{AE} = 3 \vec{b} — \frac{1}{2} \vec{a} \)
\( \overrightarrow{CD} = -2 \vec{b} \)
2. \( \overrightarrow{AB} = 3 (\vec{a} + \vec{b}) \)
\( \overrightarrow{BC} = -3 \vec{a} — \frac{9}{2} \vec{b} \)
\( \overrightarrow{AC} = -\frac{3}{2} \vec{b} \)
Для решения данной задачи необходимо последовательно выразить требуемые векторы, используя правила сложения и вычитания векторов, а также свойство деления отрезка в заданном отношении.
В первой части задачи нам даны векторы \( \overrightarrow{BE} = \vec{a} \) и \( \overrightarrow{AD} = \vec{b} \). Начнем с выражения вектора \( \overrightarrow{BC} \). Поскольку точка \( E \) делит сторону \( BC \) в отношении \( BE : EC = 2 : 1 \), это означает, что вектор \( \overrightarrow{BE} \) составляет две трети от вектора \( \overrightarrow{BC} \). Математически это записывается как \( \overrightarrow{BE} = \frac{2}{2+1} \overrightarrow{BC} = \frac{2}{3} \overrightarrow{BC} \). Из этого соотношения мы можем выразить \( \overrightarrow{BC} \) как \( \overrightarrow{BC} = \frac{3}{2} \overrightarrow{BE} \), и, подставляя данное значение \( \overrightarrow{BE} = \vec{a} \), получаем \( \overrightarrow{BC} = \frac{3}{2} \vec{a} \). Далее, чтобы найти \( \overrightarrow{AC} \), мы используем информацию о том, что точка \( D \) делит сторону \( AC \) в отношении \( AD : DC = 1 : 2 \). Это означает, что вектор \( \overrightarrow{AD} \) составляет одну треть от вектора \( \overrightarrow{AC} \), то есть \( \overrightarrow{AD} = \frac{1}{1+2} \overrightarrow{AC} = \frac{1}{3} \overrightarrow{AC} \). Выражая \( \overrightarrow{AC} \) из этого равенства, получаем \( \overrightarrow{AC} = 3 \overrightarrow{AD} \), и, подставляя \( \overrightarrow{AD} = \vec{b} \), находим \( \overrightarrow{AC} = 3 \vec{b} \). Теперь, имея выражения для \( \overrightarrow{BC} \) и \( \overrightarrow{AC} \), мы можем найти \( \overrightarrow{AB} \) по правилу треугольника: \( \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AC} — \overrightarrow{BC} \). Подставляя уже найденные выражения, получаем \( \overrightarrow{AB} = 3 \vec{b} — \frac{3}{2} \vec{a} \). Для выражения \( \overrightarrow{AE} \) мы можем использовать тот же принцип сложения векторов: \( \overrightarrow{AE} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BE} \). Подставляя найденное \( \overrightarrow{AB} = 3 \vec{b} — \frac{3}{2} \vec{a} \) и данное \( \overrightarrow{BE} = \vec{a} \), получаем \( \overrightarrow{AE} = (3 \vec{b} — \frac{3}{2} \vec{a}) + \vec{a} = 3 \vec{b} — \frac{1}{2} \vec{a} \). Наконец, для \( \overrightarrow{CD} \) мы можем использовать соотношение \( \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AD} — \overrightarrow{AC} \), поскольку \( D \) лежит на \( AC \). Подставляя \( \overrightarrow{AD} = \vec{b} \) и \( \overrightarrow{AC} = 3 \vec{b} \), получаем \( \overrightarrow{CD} = \vec{b} — 3 \vec{b} = -2 \vec{b} \).
Во второй части задачи нам даны векторы \( \overrightarrow{AE} = \vec{a} \) и \( \overrightarrow{CD} = \vec{b} \). Сначала выразим \( \overrightarrow{AC} \) через \( \vec{b} \). Из условия \( AD : DC = 1 : 2 \) следует, что \( \overrightarrow{CD} \) составляет две трети от вектора \( \overrightarrow{CA} \) или \( \overrightarrow{CD} = \frac{2}{3} \overrightarrow{CA} \). Так как \( \overrightarrow{CA} = -\overrightarrow{AC} \), то \( \overrightarrow{CD} = -\frac{2}{3} \overrightarrow{AC} \). Подставляя \( \overrightarrow{CD} = \vec{b} \), получаем \( \vec{b} = -\frac{2}{3} \overrightarrow{AC} \), откуда \( \overrightarrow{AC} = -\frac{3}{2} \vec{b} \). Теперь перейдем к выражению \( \overrightarrow{AB} \). Мы знаем, что \( \overrightarrow{AE} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BE} \), то есть \( \vec{a} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BE} \). Также известно, что \( \overrightarrow{BE} = \frac{2}{3} \overrightarrow{BC} \). Вектор \( \overrightarrow{BC} \) можно выразить как разность \( \overrightarrow{AC} — \overrightarrow{AB} \). Подставляя это в выражение для \( \overrightarrow{BE} \), получаем \( \overrightarrow{BE} = \frac{2}{3} (\overrightarrow{AC} — \overrightarrow{AB}) \). Теперь подставим найденное ранее \( \overrightarrow{AC} = -\frac{3}{2} \vec{b} \): \( \overrightarrow{BE} = \frac{2}{3} (-\frac{3}{2} \vec{b} — \overrightarrow{AB}) = -\vec{b} — \frac{2}{3} \overrightarrow{AB} \). Возвращаясь к уравнению для \( \overrightarrow{AE} \), подставляем это выражение для \( \overrightarrow{BE} \): \( \vec{a} = \overrightarrow{AB} + (-\vec{b} — \frac{2}{3} \overrightarrow{AB}) \). Раскрывая скобки и группируя члены, получаем \( \vec{a} = \overrightarrow{AB} — \frac{2}{3} \overrightarrow{AB} — \vec{b} \), что упрощается до \( \vec{a} = \frac{1}{3} \overrightarrow{AB} — \vec{b} \). Отсюда выражаем \( \overrightarrow{AB} \): \( \frac{1}{3} \overrightarrow{AB} = \vec{a} + \vec{b} \), и окончательно \( \overrightarrow{AB} = 3 (\vec{a} + \vec{b}) \).
После того как мы выразили \( \overrightarrow{AB} \) и \( \overrightarrow{AC} \), мы можем легко найти \( \overrightarrow{BC} \). Используя правило треугольника, \( \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} — \overrightarrow{AB} \). Подставляя найденные выражения \( \overrightarrow{AC} = -\frac{3}{2} \vec{b} \) и \( \overrightarrow{AB} = 3 (\vec{a} + \vec{b}) \), получаем \( \overrightarrow{BC} = -\frac{3}{2} \vec{b} — 3 (\vec{a} + \vec{b}) \). Раскрывая скобки и приводя подобные члены, имеем \( \overrightarrow{BC} = -\frac{3}{2} \vec{b} — 3 \vec{a} — 3 \vec{b} \), что упрощается до \( \overrightarrow{BC} = -3 \vec{a} — \frac{9}{2} \vec{b} \). Вектор \( \overrightarrow{AC} \) уже был найден в начале этой части решения как \( \overrightarrow{AC} = -\frac{3}{2} \vec{b} \). Таким образом, все требуемые векторы выражены через заданные базисные векторы.
1. \( \overrightarrow{BC} = \frac{3}{2} \vec{a} \)
\( \overrightarrow{AB} = 3 \vec{b} — \frac{3}{2} \vec{a} \)
\( \overrightarrow{AC} = 3 \vec{b} \)
\( \overrightarrow{AE} = 3 \vec{b} — \frac{1}{2} \vec{a} \)
\( \overrightarrow{CD} = -2 \vec{b} \)
2. \( \overrightarrow{AB} = 3 (\vec{a} + \vec{b}) \)
\( \overrightarrow{BC} = -3 \vec{a} — \frac{9}{2} \vec{b} \)
\( \overrightarrow{AC} = -\frac{3}{2} \vec{b} \)
