ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 26.135 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Коллинеарны ли векторы MN и KP, если \(M (4; 1), N (-6; 5), K (7; 2), P (2; 1)\)?

\(\vec{MN} = (-6 — 4; 5 — (-1)) = (-10; 6)\)
\(\vec{KP} = (2 — 7; 1 — (-2)) = (-5; 3)\)
\(\frac{-10}{-5} = 2\), \(\frac{6}{3} = 2\)
\(\frac{-10}{-5} = \frac{6}{3}\)
Да, коллинеарны.

Для определения коллинеарности векторов \(\vec{MN}\) и \(\vec{KP}\) необходимо сначала найти их координаты. Координаты вектора, заданного двумя точками \(A(x_1; y_1)\) и \(B(x_2; y_2)\), находятся как разность соответствующих координат конечной и начальной точек: \(\vec{AB} = (x_2 — x_1; y_2 — y_1)\). Для вектора \(\vec{MN}\), где \(M(4; -1)\) и \(N(-6; 5)\), координаты будут: \(x_{MN} = -6 — 4 = -10\) и \(y_{MN} = 5 — (-1) = 5 + 1 = 6\). Таким образом, \(\vec{MN} = (-10; 6)\).

Аналогично, для вектора \(\vec{KP}\), где \(K(7; -2)\) и \(P(2; 1)\), координаты будут: \(x_{KP} = 2 — 7 = -5\) и \(y_{KP} = 1 — (-2) = 1 + 2 = 3\). Таким образом, \(\vec{KP} = (-5; 3)\).

Два вектора \(\vec{a} = (a_x; a_y)\) и \(\vec{b} = (b_x; b_y)\) являются коллинеарными, если их соответствующие координаты пропорциональны, то есть существует такое число \(k\), что \(\vec{a} = k \cdot \vec{b}\). Это эквивалентно проверке равенства отношений соответствующих координат: \(\frac{a_x}{b_x} = \frac{a_y}{b_y}\). Для векторов \(\vec{MN} = (-10; 6)\) и \(\vec{KP} = (-5; 3)\) проверим это условие. Отношение x-координат: \(\frac{-10}{-5} = 2\). Отношение y-координат: \(\frac{6}{3} = 2\).

Поскольку оба отношения равны одному и тому же значению \(2\), то есть \(\frac{-10}{-5} = \frac{6}{3}\), векторы \(\vec{MN}\) и \(\vec{KP}\) коллинеарны. Это означает, что \(\vec{MN} = 2 \cdot \vec{KP}\).

Да, векторы \(\vec{MN}\) и \(\vec{KP}\) коллинеарны.