ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 26.136 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Найдите косинусы углов треугольника АВС, если \(A (-3; 4), B (2; 3), C (3; 5)\). Установите вид треугольника.

Длина стороны AB: \(AB = \sqrt{(2 — (-3))^2 + (-3 — (-4))^2} = \sqrt{5^2 + 1^2} = \sqrt{25 + 1} = \sqrt{26}\)

Длина стороны BC: \(BC = \sqrt{(3 — 2)^2 + (5 — (-3))^2} = \sqrt{1^2 + 8^2} = \sqrt{1 + 64} = \sqrt{65}\)

Длина стороны AC: \(AC = \sqrt{(3 — (-3))^2 + (5 — (-4))^2} = \sqrt{6^2 + 9^2} = \sqrt{36 + 81} = \sqrt{117}\)

Косинус угла A: \(\cos A = \frac{AC^2 + AB^2 — BC^2}{2 \cdot AC \cdot AB} = \frac{117 + 26 — 65}{2 \cdot \sqrt{117} \cdot \sqrt{26}}\)

Косинус угла B: \(\cos B = \frac{AB^2 + BC^2 — AC^2}{2 \cdot AB \cdot BC} = \frac{26 + 65 — 117}{2 \cdot \sqrt{26} \cdot \sqrt{65}}\)

Косинус угла C: \(\cos C = \frac{AC^2 + BC^2 — AB^2}{2 \cdot AC \cdot BC} = \frac{117 + 65 — 26}{2 \cdot \sqrt{117} \cdot \sqrt{65}}\)

Треугольник — тупоугольный.

Длина стороны AB вычисляется по формуле расстояния между точками \(A (-3, -4)\) и \(B (2, -3)\).

\(AB = \sqrt{(2 — (-3))^2 + (-3 — (-4))^2} = \sqrt{(5)^2 + (1)^2} = \sqrt{25 + 1} = \sqrt{26}\).

Длина стороны BC находится по формуле между точками \(B (2, -3)\) и \(C (3, 5)\).

\(BC = \sqrt{(3 — 2)^2 + (5 — (-3))^2} = \sqrt{(1)^2 + (8)^2} = \sqrt{1 + 64} = \sqrt{65}\).

Длина стороны AC — между точками \(A (-3, -4)\) и \(C (3, 5)\).

\(AC = \sqrt{(3 — (-3))^2 + (5 — (-4))^2} = \sqrt{(6)^2 + (9)^2} = \sqrt{36 + 81} = \sqrt{117}\).

Для нахождения косинусов углов используем формулу:

\(\cos A = \frac{b^2 + c^2 — a^2}{2bc}\),

где \(a = BC\), \(b = AC\), \(c = AB\).

Косинус угла \(A\):

\(\cos A = \frac{AC^2 + AB^2 — BC^2}{2 \cdot AC \cdot AB} = \frac{117 + 26 — 65}{2 \cdot \sqrt{117} \cdot \sqrt{26}}\).

Косинус угла \(B\):

\(\cos B = \frac{AB^2 + BC^2 — AC^2}{2 \cdot AB \cdot BC} = \frac{26 + 65 — 117}{2 \cdot \sqrt{26} \cdot \sqrt{65}}\).

Косинус угла \(C\):

\(\cos C = \frac{AC^2 + BC^2 — AB^2}{2 \cdot AC \cdot BC} = \frac{117 + 65 — 26}{2 \cdot \sqrt{117} \cdot \sqrt{65}}\).

Обратите внимание, что \(\cos B\) отрицателен, значит угол \(B\) — тупой, а остальные — острые. Следовательно, треугольник — тупоугольный.