ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 26.138 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Найдите косинус угла между векторами \(a = 3m + n\) и \(b = m- 2n\), если \(|m| = |n| = 1\) и \(m \perp n\).

\( |m| = 1 \), \( |n| = 1 \), \( m \perp n \Rightarrow m \cdot n = 0 \).
Скалярное произведение \( a \cdot b = (3m + n) \cdot (m — 2n) = 3m \cdot m — 6m \cdot n + n \cdot m — 2n \cdot n =\)
\(= 3 \times 1 — 6 \times 0 + 0 — 2 \times 1 = 1 \).
Длины: \( |a| = \sqrt{(3m + n) \cdot (3m + n)} = \sqrt{9m \cdot m + 6m \cdot n + n \cdot n}=\)
\( = \sqrt{9 \times 1 + 0 + 1} = \sqrt{10} \).
\( |b| = \sqrt{(m — 2n) \cdot (m — 2n)} = \sqrt{m \cdot m — 4m \cdot n + 4n \cdot n} =\)
\(= \sqrt{1 + 0 + 4} = \sqrt{5} \).
Косинус угла: \( \cos \theta = \frac{a \cdot b}{|a| \times |b|} = \frac{1}{\sqrt{10} \times \sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{50}} = \frac{1}{5 \sqrt{2}} \).

Множества векторов \(m\) и \(n\) заданы так, что их длины равны единице: \( |m| = 1 \) и \( |n| = 1 \). Также известно, что они перпендикулярны, то есть \( m \cdot n = 0 \).

Чтобы найти косинус угла между векторами \(a = 3m + n\) и \(b = m — 2n\), сначала нужно найти их скалярное произведение \(a \cdot b\). Раскроем его: \( a \cdot b = (3m + n) \cdot (m — 2n) \).

Раскроем скалярное произведение, используя свойства: \( (x + y) \cdot (u + v) = x \cdot u + x \cdot v + y \cdot u + y \cdot v \). Тогда:

\( a \cdot b = 3m \cdot m — 6m \cdot n + n \cdot m — 2n \cdot n \).

Подставляем известные значения:

— \( m \cdot m = |m|^2 = 1 \),
— \( n \cdot n = |n|^2 = 1 \),
— \( m \cdot n = 0 \),
— \( n \cdot m = 0 \).

Получаем:

\( a \cdot b = 3 \times 1 — 6 \times 0 + 0 — 2 \times 1 = 3 — 0 + 0 — 2 = 1 \).

Теперь находим длины векторов \(a\) и \(b\). Для этого используем формулу: \( |a| = \sqrt{a \cdot a} \).

Рассчитаем \( |a|^2 \):

\( |a|^2 = (3m + n) \cdot (3m + n) \).

Раскроем:

\( |a|^2 = 3m \cdot 3m + 2 \times 3m \cdot n + n \cdot n = 9m \cdot m + 6m \cdot n + n \cdot n \).

Подставляем значения:

\( |a|^2 = 9 \times 1 + 6 \times 0 + 1 = 9 + 0 + 1 = 10 \).

Следовательно:

\( |a| = \sqrt{10} \).

Аналогично для \(b\):

\( |b|^2 = (m — 2n) \cdot (m — 2n) \).

Раскроем:

\( |b|^2 = m \cdot m — 2 \times m \cdot 2n + 4n \cdot n = 1 — 4 \times 0 + 4 = 1 + 4 = 5 \).

Следовательно:

\( |b| = \sqrt{5} \).

Используем формулу для косинуса угла:

\( \cos \theta = \frac{a \cdot b}{|a| \times |b|} \).

Подставляем значения:

\( \cos \theta = \frac{1}{\sqrt{10} \times \sqrt{5}} \).

Упростим:

\( \cos \theta = \frac{1}{\sqrt{50}} \).

Преобразуем знаменатель:

\( \sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = 5 \sqrt{2} \).

Итог:

\( \cos \theta = \frac{1}{5 \sqrt{2}} \).