ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 26.140 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Составьте уравнение прямой, которая касается окружности с центром \(M (0; -4)\) в точке \(A (5; -3)\).

Радиус окружности равен расстоянию между центром \(M (0, -4)\) и точкой \(A (5, -3)\): \(r = \sqrt{(5 — 0)^2 + (-3 + 4)^2} = \sqrt{25 + 1} = \sqrt{26}\).
Радиус идет из центра \(M\) в точку касания \(A\), а касательная в точке \(A\) перпендикулярна радиусу. Вектор радиуса: \( (5, 1) \).
Касательная перпендикулярна радиусу, значит её направление перпендикулярно вектору \( (5, 1) \). Вектор, перпендикулярный \( (5, 1) \), это \( (1, -5) \).
Уравнение прямой по точке \(A (5, -3)\) с направляющим вектором \( (1, -5) \): \( (x — 5) * 1 + (y + 3) * (-5) = 0 \).
Раскрываем скобки: \( x — 5 — 5y — 15 = 0 \).
Приводим к виду: \( x — 5y — 20 = 0 \).
Или в виде: \( 5x + y = 22 \).

Центр окружности задан точкой \( M (0, -4) \), а точка касания — это точка \( A (5, -3) \). Для начала нужно найти радиус окружности, то есть расстояние между центром и точкой касания. Расстояние вычисляем по формуле: \( r = \sqrt{(x_2 — x_1)^2 + (y_2 — y_1)^2} \). Подставляем: \( r = \sqrt{(5 — 0)^2 + (-3 + 4)^2} = \sqrt{25 + 1} = \sqrt{26} \).

Далее, чтобы найти уравнение касательной, нужно понять, что касательная в точке \( A \) перпендикулярна радиусу, проведённому из центра окружности в эту точку. Вектор радиуса — это разность координат точки касания и центра: \( (5 — 0, -3 + 4) = (5, 1) \). Этот вектор показывает направление радиуса.

Поскольку касательная перпендикулярна радиусу, её направление будет перпендикулярно вектору \( (5, 1) \). Перпендикулярный вектор можно найти, поменяв местами координаты и взяв противоположный знак у одной из них. Варианты: \( (1, -5) \) или \( (-1, 5) \). Для удобства возьмём \( (1, -5) \).

Теперь, чтобы записать уравнение касательной, используем точку \( A (5, -3) \) и направление \( (1, -5) \). Уравнение прямой через точку с направляющим вектором: \( (x — x_0, y — y_0) \) и \( (a, b) \) должны удовлетворять условию: \( a(x — x_0) + b(y — y_0) = 0 \). Подставляем: \( 1(x — 5) + (-5)(y + 3) = 0 \).

Раскрываем скобки: \( x — 5 — 5y — 15 = 0 \). Объединяем подобные: \( x — 5y — 20 = 0 \). Это и есть уравнение касательной.

Итоговое уравнение касательной к окружности в точке \( A (5, -3) \) равно \( 5x + y = 22 \).