ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 26.141 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы
Точки \(M_1, M_2, … , M_6\) середины сторон выпуклого шестиугольника \(A_1A_2 … A_6\). Докажите, что существует треугольник, стороны которого равны и параллельны отрезкам \(M_1M_2, M_3M_4, M_5M_6\).
Точки \(M_1, M_2, \dots, M_6\) — середины сторон \(A_1A_2, A_2A_3, \dots, A_6A_1\). Векторы от них: \(\overrightarrow{M_iM_{i+1}} = \frac{\overrightarrow{A_{i+2}} — \overrightarrow{A_i}}{2}\). Обозначим \(\mathbf{u} = \overrightarrow{M_1M_2} = \frac{\overrightarrow{A_3} — \overrightarrow{A_1}}{2}\), \(\mathbf{v} = \frac{\overrightarrow{A_5} — \overrightarrow{A_3}}{2}\), \(\mathbf{w} = \frac{\overrightarrow{A_1} — \overrightarrow{A_5}}{2}\). Тогда \(\mathbf{u} + \mathbf{v} + \mathbf{w} = 0\). Следовательно, существуют стороны треугольника, параллельные \(\mathbf{u}\), \(\mathbf{v}\), \(\mathbf{w}\), и равные им по длине, образующие замкнутый треугольник.
Рассмотрим выпуклый шестиугольник \(A_1A_2A_3A_4A_5A_6\) и точки \(M_1, M_2, M_3, M_4, M_5, M_6\), являющиеся серединами сторон \(A_1A_2, A_2A_3, A_3A_4, A_4A_5, A_5A_6, A_6A_1\) соответственно. Тогда по определению точек \(M_i\) имеем: \(M_1\) — середина \(A_1A_2\), то есть \(\overrightarrow{M_1} = \frac{\overrightarrow{A_1} + \overrightarrow{A_2}}{2}\), и аналогично для остальных точек. Векторы от \(M_i\) к \(M_{i+1}\) выражаются как \(\overrightarrow{M_iM_{i+1}} = \overrightarrow{M_{i+1}} — \overrightarrow{M_i}\).
Подставляя выражения для точек \(M_i\), получаем: \(\overrightarrow{M_iM_{i+1}} = \frac{\overrightarrow{A_{i+2}} + \overrightarrow{A_{i+1}}}{2} — \frac{\overrightarrow{A_i} + \overrightarrow{A_{i+1}}}{2} = \frac{\overrightarrow{A_{i+2}} — \overrightarrow{A_i}}{2}\). Таким образом, векторы сторон отрезков \(M_iM_{i+1}\) связаны с векторами сторон шестиугольника через разность их концов, деленную на 2.
Обозначим \(\mathbf{u} = \overrightarrow{M_1M_2} = \frac{\overrightarrow{A_3} — \overrightarrow{A_1}}{2}\), \(\mathbf{v} = \frac{\overrightarrow{A_5} — \overrightarrow{A_3}}{2}\), \(\mathbf{w} = \frac{\overrightarrow{A_1} — \overrightarrow{A_5}}{2}\). Тогда сумма этих векторов равна нулю: \(\mathbf{u} + \mathbf{v} + \mathbf{w} = \frac{\overrightarrow{A_3} — \overrightarrow{A_1}}{2} + \frac{\overrightarrow{A_5} — \overrightarrow{A_3}}{2} + \frac{\overrightarrow{A_1} — \overrightarrow{A_5}}{2} = 0\).
Из этого следует, что векторы \(\mathbf{u}\), \(\mathbf{v}\), \(\mathbf{w}\) образуют замкнутый треугольник, стороны которого параллельны векторным разностям, равным этим векторам. В силу равенства и параллельности, существуют стороны искомого треугольника, равные по длине и параллельные этим векторам, что подтверждает существование требуемого треугольника.