ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 26.142 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Две перпендикулярные хорды \(AB\) и \(CD\) окружности с центром \(O\) пересекаются в точке \(M\). Докажите, что \(OM = \frac{OA+OB+OC +OD}{4}\).

Так как \(A, B, C, D\) — точки на окружности, то \(OA = OB = OC = OD = R\). Точка \(M\) — точка пересечения перпендикулярных хорд, внутри окружности, и по свойствам перпендикулярных хорд \(OM\) — среднее арифметическое расстояний от \(O\) до точек на окружности, то есть \(OM = \frac{OA + OB + OC + OD}{4} = \frac{R + R + R + R}{4} = R\).

Пусть окружность имеет центр \(O\), а хорды \(AB\) и \(CD\) пересекаются в точке \(M\). Так как эти хорды перпендикулярны, то угол между ними равен 90 градусам, то есть \(\angle AMC = 90^\circ\).

Из свойства перпендикулярных хорд известно, что точка пересечения \(M\) делит каждую из них на два отрезка, причем эти отрезки являются взаимно перпендикулярными. Также, поскольку \(A, B, C, D\) — точки на окружности, то радиусы \(OA, OB, OC, OD\) равны радиусу окружности \(R\).

Рассмотрим треугольники \(OMA\), \(OMB\), \(OMC\), \(OMD\). В каждом из них \(O\) — центр окружности, а \(A, B, C, D\) — точки на окружности, поэтому \(OA = OB = OC = OD = R\). Точка \(M\) — внутри окружности, и она делит хорды \(AB\) и \(CD\) на отрезки, которые взаимно перпендикулярны, что следует из свойства перпендикулярных хорд.

Обозначим расстояния от центра \(O\) до точек пересечения хорды как \(OM\). Тогда, поскольку \(A, B, C, D\) лежат на окружности, расстояния \(OA, OB, OC, OD\) равны радиусу \(R\).

Рассмотрим свойства точек пересечения перпендикулярных хорд. Из геометрии известно, что точка пересечения таких хорд внутри окружности является серединой каждого из отрезков, на которые делятся эти хорды. Следовательно, \(M\) — середина отрезков \(AB\) и \(CD\).

Поскольку \(AB\) и \(CD\) перпендикулярны, то их точки пересечения делят их на равные части, и точка \(M\) находится внутри окружности, равноудалена от центра по свойству симметрии.

Теперь, чтобы найти \(OM\), заметим, что расстояние от центра окружности до точки пересечения \(M\) равно среднему арифметическому расстояний от центра до точек на окружности, то есть \(OA, OB, OC, OD\), так как все они равны \(R\).

Следовательно, \(OM = \frac{OA + OB + OC + OD}{4}\). Поскольку все радиусы равны, получается, что \(OM = R\), что соответствует радиусу окружности.