ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 26.143 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Отрезки \(OA, OB, OC\) и \(OD\) являются радиусами окружности с центром в точке \(O\). Докажите, что если \(OA + OB + OC + OD = 0\), то четырёхугольник \(ABCD\) прямоугольник.

Если \(OA + OB + OC + OD = 0\), то так как \(OA = OB = OC = OD = r\), то \(4r = 0\), следовательно \(r = 0\). Тогда точки \(A, B, C, D\) совпадают с точкой \(O\), и четырехугольник \(ABCD\) является вырожденным, то есть все вершины совпадают, что по определению является прямоугольником.

Пусть \(O\) — центр окружности, а \(A, B, C, D\) — точки на окружности с радиусом \(r\). Тогда для каждой точки выполнено равенство \(OA = OB = OC = OD = r\). Так как все радиусы равны, сумма их равна \(OA + OB + OC + OD = 4r\). По условию, эта сумма равна нулю, то есть \(4r = 0\). Следовательно, \(r = 0\).

Если радиус равен нулю, то все точки \(A, B, C, D\) совпадают с центром окружности \(O\). Тогда все вершины четырехугольника совпадают, и он превращается в точку. Вырожденный четырехугольник, у которого все вершины совпадают, является тривиальным случаем прямоугольника, поскольку все его углы равны \(90^\circ\), а стороны равны нулю.

Таким образом, при условии \(OA + OB + OC + OD = 0\) все точки совпадают, и четырехугольник \(ABCD\) является вырожденным, что по определению является прямоугольником.