ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 26.145 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

На прямой \(l\) последовательно отметили точки \(A_1, A_2, A_3, A_4, A_5, …\) так, что \(A_1A_2 = 1 \text{ см}, A_2A_3 = 2 \text{ см}, A_3A_4 = 3 \text{ см}, A_4A_5 = 4 \text{ см}, …\). На отрезках \(A_1A_4, A_2A_5, A_3A_6, …\) построены квадраты, расположенные в одной полуплоскости относительно прямой \(l\). Докажите, что центры всех этих квадратов принадлежат одной параболе.

Координаты точек \(A_i\) на прямой: \(A_i = (\frac{(i-1)i}{2}, 0)\). Отрезки \(A_kA_{k+3}\) имеют длину \(A_kA_{k+3} = 3k + 3\). Центр квадрата на отрезке \(A_kA_{k+3}\), расположенного сверху, имеет координаты \(X_k = \frac{x_k + x_{k+3}}{2} = \frac{\frac{(k-1)k}{2} + \frac{(k+2)(k+3)}{2}}{2} = \frac{(k-1)k + (k+2)(k+3)}{4}\). Раскрыв скобки: \(X_k = \frac{k^2 — k + k^2 + 5k + 6}{4} = \frac{2k^2 + 4k + 6}{4} = \frac{k^2 + 2k + 3}{2}\). Координата по \(y\): \(Y_k = \frac{3k + 3}{2}\). Выразим \(k\) через \(Y\): \(k = \frac{2Y}{3} — 1\). Подставляя в \(X_k\): \(X = \frac{\left(\frac{2Y}{3} — 1\right)^2 + 2\left(\frac{2Y}{3} — 1\right) + 3}{2}\). Раскрыв скобки: \(\left(\frac{2Y}{3} — 1\right)^2 = \frac{4Y^2}{9} — \frac{4Y}{3} + 1\), \(2\left(\frac{2Y}{3} — 1\right) = \frac{4Y}{3} — 2\). Тогда \(X = \frac{\frac{4Y^2}{9} — \frac{4Y}{3} + 1 + \frac{4Y}{3} — 2 + 3}{2} = \frac{\frac{4Y^2}{9} + 2}{2} = \frac{4Y^2/9 + 2}{2} = \frac{4Y^2}{18} + 1 = \frac{2Y^2}{9} + 1\). Следовательно, уравнение параболы: \(X = \frac{2}{9}Y^2 + 1\).

Координаты точек \(A_i\) на прямой можно выразить как \(A_i = (\frac{(i-1)i}{2}, 0)\). Для построения последовательных точек: \(A_1 = (0, 0)\), \(A_2 = (1, 0)\), \(A_3 = (3, 0)\), \(A_4 = (6, 0)\), \(A_5 = (10, 0)\), \(A_6 = (15, 0)\) и так далее. Общее выражение для координаты \(A_i\): \(x_i = \frac{(i-1)i}{2}\).

Рассмотрим отрезки \(A_kA_{k+3}\). Их длина равна разности координат по оси \(x\): \(A_{k+3} — A_k = \frac{(k+2)(k+3)}{2} — \frac{(k-1)k}{2}\). Раскрыв скобки: \(\frac{(k+2)(k+3) — (k-1)k}{2}\). Раскроем скобки внутри: \((k+2)(k+3) = k^2 + 5k + 6\), а \((k-1)k = k^2 — k\). Тогда длина отрезка: \(\frac{k^2 + 5k + 6 — (k^2 — k)}{2} = \frac{6k + 6}{2} = 3k + 3\).

Построение квадрата на каждом отрезке происходит так, что его стороны равны длине этого отрезка, а расположены они в одной полуплоскости относительно оси \(l\). Центр квадрата — это середина отрезка \(A_kA_{k+3}\), смещённая перпендикулярно оси \(l\). Координаты центра по оси \(x\): \(X_k = \frac{x_k + x_{k+3}}{2}\). Координаты по оси \(y\): \(Y_k = \pm \frac{s_k}{2}\), где \(s_k = 3k + 3\).

Вычислим \(X_k\): \(x_k = \frac{(k-1)k}{2}\), \(x_{k+3} = \frac{(k+2)(k+3)}{2} = \frac{k^2 + 5k + 6}{2}\). Тогда: \(X_k = \frac{\frac{(k-1)k}{2} + \frac{k^2 + 5k + 6}{2}}{2} = \frac{(k-1)k + k^2 + 5k + 6}{4}\). Раскроем скобки: \((k-1)k = k^2 — k\). Итог: \(X_k = \frac{k^2 — k + k^2 + 5k + 6}{4} = \frac{2k^2 + 4k + 6}{4} = \frac{k^2 + 2k + 3}{2}\).

Координата по оси \(y\): \(Y_k = \frac{3k + 3}{2} = \frac{3(k + 1)}{2}\). Обратим уравнение: \(k + 1 = \frac{2Y}{3}\), следовательно \(k = \frac{2Y}{3} — 1\).

Подставим выражение для \(k\) в формулу для \(X_k\): \(X = \frac{\left(\frac{2Y}{3} — 1\right)^2 + 2\left(\frac{2Y}{3} — 1\right) + 3}{2}\).

Раскроем скобки: \(\left(\frac{2Y}{3} — 1\right)^2 = \frac{4Y^2}{9} — \frac{4Y}{3} + 1\). Также: \(2\left(\frac{2Y}{3} — 1\right) = \frac{4Y}{3} — 2\).

Подставим: \(X = \frac{\frac{4Y^2}{9} — \frac{4Y}{3} + 1 + \frac{4Y}{3} — 2 + 3}{2}\). Упростим: \(- \frac{4Y}{3} + \frac{4Y}{3} = 0\). Осталось: \(X = \frac{\frac{4Y^2}{9} + 2}{2}\).

Дальше: \(X = \frac{4Y^2/9 + 2}{2} = \frac{4Y^2}{18} + 1 = \frac{2Y^2}{9} + 1\). Значит, уравнение центра квадрата — это парабола: \(X = \frac{2}{9}Y^2 + 1\).