ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 26.148 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы
Запишите уравнение окружности, симметричной окружности \((x + 4)^2 + (y 5)^2 = 11\) относительно:
1) начала координат;
2) точки \(M (-3; 3)\).
Окружность, симметричная относительно начала координат: \((x — 4)^2 + (y + 5)^2 = 11\). Окружность, симметричная относительно точки M(-3, 3):\( (x + 2)^2 + (y — 1)^2 = 11\).
Для нахождения уравнения окружности, симметричной относительно начала координат, необходимо понять, как отражение точки происходит относительно этой точки. Если есть окружность, заданная уравнением \( (x — x_0)^2 + (y — y_0)^2 = r^2 \), то её центр находится в точке \( (x_0, y_0) \). При отражении относительно начала координат, каждая точка \( (x, y) \) переходит в точку \( (-x, -y) \). Следовательно, если исходная окружность имеет центр в \( (x_0, y_0) \), то отраженная окружность будет иметь центр в точке \( (-x_0, -y_0) \). Поскольку исходное уравнение окружности задается как \( (x — 0)^2 + (y — 0)^2 = R^2 \), то после отражения относительно начала координат уравнение станет \( (x + 0)^2 + (y + 0)^2 = R^2 \), что по сути совпадает с исходным уравнением, так как центр остается в начале координат. Однако, в задаче указано, что окружность симметрична относительно начала координат и имеет уравнение \( (x + 4)^2 + (y + 5)^2 = 11 \), что говорит о том, что центр исходной окружности находится в точке \( (-4, -5) \). Отражение относительно начала координат меняет знак координат центра, то есть центр после отражения будет в точке \( (4, 5) \). Поэтому уравнение отраженной окружности будет иметь центр в этой точке и равно \( (x — 4)^2 + (y — 5)^2 = 11 \).
Для определения окружности, симметричной относительно точки \( M(-3, 3) \), необходимо понять, как происходит отражение относительно произвольной точки. Пусть исходная точка \( (x, y) \) отображается относительно точки \( M(x_M, y_M) \). Тогда отраженная точка \( (x’, y’) \) удовлетворяет уравнению \( (x’ — x_M) = -(x — x_M) \) и \( (y’ — y_M) = -(y — y_M) \), что означает, что \( x’ = 2x_M — x \) и \( y’ = 2y_M — y \). Исходное уравнение окружности — это \( (x — x_0)^2 + (y — y_0)^2 = R^2 \). После отражения относительно точки \( M \), центр окружности сместится на то же расстояние, но в противоположную сторону относительно точки \( M \). Следовательно, новый центр окружности будет в точке \( (2x_M — x_0, 2y_M — y_0) \). Подставляя значения \( x_M = -3 \) и \( y_M = 3 \), а также исходный центр \( (-4, -5) \), получаем новый центр в точке \( (2 \times -3 — (-4), 2 \times 3 — (-5)) \), что равно \( (-6 + 4, 6 + 5) = (-2, 11) \). Следовательно, уравнение окружности, симметричной относительно точки \( M(-3, 3) \), будет иметь центр в \( (-2, 11) \) и радиус такой же, как и исходный, то есть \( R \). Итоговое уравнение: \( (x + 2)^2 + (y — 11)^2 = R^2 \). Поскольку радиус не меняется при отражении, он остается равен исходному \( R = \sqrt{11} \). Поэтому окончательное уравнение окружности — это \( (x + 2)^2 + (y — 11)^2 = 11 \).
