ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 26.149 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

На какой угол надо повернуть прямоугольник вокруг его центра симметрии, чтобы его образом был этот же прямоугольник?

Угол, при котором прямоугольник остается той же фигурой при повороте вокруг центра, равен 180° или \(\pi\) радиан.

Для определения угла поворота, при котором прямоугольник остается неизменным при вращении вокруг его центра симметрии, необходимо рассмотреть свойства симметрии этой фигуры.

Прямоугольник обладает центральной симметрией относительно своей центральной точки, которая является точкой пересечения диагоналей. При вращении вокруг этой точки, чтобы фигура осталась неизменной, необходимо найти такие углы, при которых все стороны и вершины совпадут с исходным расположением.

Обозначим центр прямоугольника как \( O \). Пусть мы вращаем фигуру на угол \( \theta \). Тогда, для того чтобы изображение оставалось тем же, необходимо, чтобы все вершины после вращения совпадали с исходными вершинами или их симметричными позициями.

Известно, что при вращении на угол \( \theta \) точка с координатами \( (x, y) \) переходит в точку с координатами \( (x’, y’) \), где

\( x’ = x \cos \theta — y \sin \theta \)

и

\( y’ = x \sin \theta + y \cos \theta \).

Для того чтобы фигура совпадала сама с собой, необходимо, чтобы после вращения все вершины совпадали с исходными или их симметричными позициями относительно центра.

Так как прямоугольник имеет две пары равных сторон и диагонали, пересекающиеся в центре, то при вращении на 180° (или \( \pi \) радиан), все вершины возвращаются в свои начальные позиции или их зеркальные изображения, сохраняя форму.

Это обусловлено тем, что при \( \theta = \pi \), точки с координатами \( (x, y) \) переходят в \( (-x, -y) \), что соответствует зеркальному отражению относительно центра, и фигура остается той же.

Поворот на 360° (или \( 2\pi \) радиан) также возвращает фигуру в исходное положение, поскольку полный оборот не меняет расположение.

Повороты на \( \frac{\pi}{2} \) или \( \frac{3\pi}{2} \) не сохранят форму, так как стороны не совпадут с исходными.

Следовательно, все углы, при которых прямоугольник остается изображением себя при вращении вокруг центра, это

\( \theta = k \pi \), где \( k \) — целое число.

Наиболее важные из них — это \( \theta = \pi \) и \( \theta = 2 \pi \).

Ответ: \( \theta = \pi \cdot k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).