ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 26.15 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

В треугольнике АВС медианы ВМ и СК перпендикулярны и пересекаются в точке О. Найдите отрезок АО, если ВМ = 36 см и СК = 15 см.

$AO = \frac{1}{3} \sqrt{36^{2} + 15^{2}} = \frac{1}{3} \sqrt{1296 + 225} = \frac{1}{3} \sqrt{1521} = \frac{1}{3} \times 39 = 13$

В треугольнике медианы пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении $2:1$, считая от вершины. Пусть $BM$ и $CK$ — медианы, $O$ — точка их пересечения.

Длины частей медиан, считая от вершин:
$BO = \frac{2}{3} \times 36 = 24$
$CO = \frac{2}{3} \times 15 = 10$

Медианы пересекаются под прямым углом, поэтому $BO$ и $CO$ — перпендикулярные катеты.

Длина отрезка $AO$ вычисляется по формуле:
$AO = \frac{1}{3} \sqrt{BM^{2} + CK^{2}}$

Подставим значения:
$AO = \frac{1}{3} \sqrt{36^{2} + 15^{2}}$

$36^{2} = 1296$
$15^{2} = 225$
$1296 + 225 = 1521$
$\sqrt{1521} = 39$

$AO = \frac{1}{3} \times 39 = 13$