ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 26.150 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы
Постройте треугольник, гомотетичный данному тупоугольному треугольнику, если центром гомотетии является центр окружности, описанной около треугольника, коэффициент гомотетии \(k = -2\).
Центр описанной окружности — точка пересечения серединных перпендикуляров, обозначим его как \( O \). Коэффициент гомотетии \( k = -2 \). Тогда радиус описанной окружности \( R \) остается неизменным, а центр гомотетии находится в точке \( O \). Координаты гомотетичного треугольника \( A’, B’, C’ \) получаются по формуле: \( A’ = O + k \cdot (A — O) \), \( B’ = O + k \cdot (B — O) \), \( C’ = O + k \cdot (C — O) \). Так как \( k = -2 \), то координаты новых точек: \( A’ = O — 2 \cdot (A — O) \), \( B’ = O — 2 \cdot (B — O) \), \( C’ = O — 2 \cdot (C — O) \).
Центр описанной окружности, обозначаемый как \( O \), является точкой пересечения серединных перпендикуляров треугольника. Это важнейшая точка в геометрии, которая обладает свойством равенства расстояний от центра окружности до всех вершин треугольника, то есть \( OA = OB = OC = R \), где \( R \) — радиус окружности. В случае гомотетии, масштабирование фигуры происходит относительно центра, и при этом центр описанной окружности остается неподвижным, так как он является точкой пересечения серединных перпендикуляров, а эти линии проходят через центр окружности и не меняются при масштабировании. Коэффициент гомотетии \( k = -2 \) означает, что новая фигура получается масштабированием исходного треугольника в два раза в обратную сторону относительно центра \( O \), то есть с переворотом и увеличением масштаба.
Координаты новых точек \( A’, B’, C’ \) рассчитываются по формуле: \( A’ = O + k \cdot (A — O) \), \( B’ = O + k \cdot (B — O) \), \( C’ = O + k \cdot (C — O) \). Эта формула говорит о том, что для получения новых точек мы берем вектор от центра \( O \) до исходной точки \( A \), \( B \) или \( C \), умножаем его на коэффициент масштаба \( k = -2 \), и добавляем к центру \( O \). В результате, если исходная точка находится в координатах \( A \), то новая точка будет в координатах \( A’ = O — 2 \cdot (A — O) \). Аналогично для других вершин, что приводит к тому, что новая фигура получается зеркальной и увеличенной в два раза относительно центра, причём её вершины располагаются по тому же радиусу \( R \), так как центр и радиус остаются неизменными.
При этом, поскольку коэффициент гомотетии отрицателен, новая фигура будет расположена в противоположных направлениях относительно центра \( O \), то есть она будет отражена относительно центра и увеличена в масштабе в два раза. Это означает, что все точки исходного треугольника, находящиеся на расстоянии \( R \) от центра \( O \), после гомотетии перемещаются на расстояние \( 2R \) в противоположную сторону относительно центра. В результате, новая фигура будет иметь вершины, расположенные по тому же радиусу, но в противоположных направлениях, что создаст зеркальное отображение исходного треугольника, масштабированное в два раза. Этот процесс сохраняет центр окружности, так как все точки перемещаются относительно него, а также сохраняет радиус, так как расстояние от центра до новых точек равно тому же радиусу, но с учетом масштабирования и отражения.
