ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 26.152 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

На стороне \(BC\) квадрата \(ABCD\) отметили точку \(M\) так, что \(BM : MC = 1 : 2\). Отрезки \(AM\) и \(BD\) пересекаются в точке \(P\). Найдите площадь треугольника \(BPM\), если площадь треугольника \(APD\) равна \(27 \text{ см}^2\).

Пусть сторона квадрата равна \(3x\). Тогда \(BM = x\) и \(AD = 3x\). Треугольники \(APD\) и \(MPB\) подобны с коэффициентом подобия \(k = \frac{BM}{AD} = \frac{x}{3x} = \frac{1}{3}\). Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия: \(\frac{Area(\triangle BPM)}{Area(\triangle APD)} = k^{2} = \left(\frac{1}{3}\right)^{2} = \frac{1}{9}\). Поскольку \(Area(\triangle APD) = 27 \text{ см}^{2}\), то \(Area(\triangle BPM) = Area(\triangle APD) \times \frac{1}{9} = 27 \times \frac{1}{9} = 3 \text{ см}^{2}\).

Пусть сторона квадрата \(ABCD\) равна \(3x\).
По условию, точка \(M\) на стороне \(BC\) делит ее в отношении \(BM : MC = 1 : 2\). Это означает, что \(BM = x\) и \(MC = 2x\).
Следовательно, длина стороны \(BC = BM + MC = x + 2x = 3x\).
Поскольку \(ABCD\) является квадратом, все его стороны равны, поэтому \(AD = BC = 3x\).

Рассмотрим треугольники \(APD\) и \(MPB\).
Так как \(ABCD\) — квадрат, сторона \(AD\) параллельна стороне \(BC\).
Отрезок \(AM\) является секущей, пересекающей параллельные прямые \(AD\) и \(BC\). В этом случае, углы \(\angle DAP\) и \(\angle BMP\) являются накрест лежащими углами, поэтому они равны: \(\angle DAP = \angle BMP\).
Отрезок \(BD\) также является секущей, пересекающей параллельные прямые \(AD\) и \(BC\). В этом случае, углы \(\angle ADP\) и \(\angle MBP\) являются накрест лежащими углами, поэтому они равны: \(\angle ADP = \angle MBP\).
Кроме того, углы \(\angle APD\) и \(\angle MPB\) являются вертикальными углами, образованными пересечением отрезков \(AM\) и \(BD\), поэтому они также равны: \(\angle APD = \angle MPB\).
Поскольку все три угла треугольника \(APD\) равны соответствующим трем углам треугольника \(MPB\), эти треугольники подобны по признаку подобия по трем углам (\(\triangle APD \sim \triangle MPB\)).

Коэффициент подобия \(k\) двух подобных треугольников определяется как отношение длин их соответствующих сторон.
Для треугольников \(APD\) и \(MPB\) соответствующие стороны это \(AD\) и \(BM\).
Мы знаем, что \(AD = 3x\) и \(BM = x\).
Следовательно, коэффициент подобия \(k = \frac{BM}{AD} = \frac{x}{3x} = \frac{1}{3}\).

Известно, что отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.
Таким образом, \(\frac{Area(\triangle BPM)}{Area(\triangle APD)} = k^{2}\).
Подставим найденное значение коэффициента подобия:
\(\frac{Area(\triangle BPM)}{Area(\triangle APD)} = \left(\frac{1}{3}\right)^{2} = \frac{1}{9}\).

Нам дано, что площадь треугольника \(APD\) равна \(27 \text{ см}^{2}\).
Используя установленное отношение площадей, мы можем найти площадь треугольника \(BPM\):
\(Area(\triangle BPM) = Area(\triangle APD) \times \frac{1}{9}\).
Подставим значение площади треугольника \(APD\):
\(Area(\triangle BPM) = 27 \text{ см}^{2} \times \frac{1}{9}\).
Выполним умножение:
\(Area(\triangle BPM) = \frac{27}{9} \text{ см}^{2}\).
\(Area(\triangle BPM) = 3 \text{ см}^{2}\).