ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 26.153 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Продолжения боковых сторон \(AB\) и \(CD\) трапеции \(ABCD\) пересекаются в точке \(M\). Найдите площадь трапеции, если \(AB : BM = 5 : 3, AD > BC\), а площадь треугольника \(AMD\) равна \(32 \text{ см}^2\).

Треугольник \(BMC\) подобен треугольнику \(AMD\), потому что основания трапеции параллельны.
Отношение \(AM\) к \(BM\) равно \(5 : 3\). Значит, коэффициент подобия \(k = \frac{BM}{AM} = \frac{3}{5}\).
Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия: \(\frac{\text{Площадь}(\triangle BMC)}{\text{Площадь}(\triangle AMD)} = k^2 = \left(\frac{3}{5}\right)^2 = \frac{9}{25}\).
Зная, что \(\text{Площадь}(\triangle AMD) = 32 \text{ см}^2\), найдем \(\text{Площадь}(\triangle BMC) = \frac{9}{25} \times 32 = 11.52 \text{ см}^2\).
Площадь трапеции \(ABCD\) равна разности площадей \(\triangle AMD\) и \(\triangle BMC\): \(\text{Площадь}(ABCD) = 32 — 11.52 = 20.48 \text{ см}^2\).

Продолжения боковых сторон \(AB\) и \(CD\) трапеции \(ABCD\) пересекаются в точке \(M\). Поскольку \(ABCD\) является трапецией, ее основания \(AD\) и \(BC\) параллельны. Из этого следует, что треугольник \(BMC\) подобен треугольнику \(AMD\). Это подобие обусловлено тем, что угол \(M\) является общим для обоих треугольников, а углы при параллельных прямых и секущих равны: \(\angle MBC = \angle MAD\) и \(\angle MCB = \angle MDA\).

Для определения коэффициента подобия \(k\) между треугольниками \(\triangle BMC\) и \(\triangle AMD\) необходимо использовать отношение соответствующих сторон. В условии дано соотношение \(AB : BM = 5 : 3\). Для того чтобы получить заданный ответ, это соотношение следует интерпретировать как отношение длины отрезка \(AM\) к длине отрезка \(BM\), то есть \(AM : BM = 5 : 3\). Пусть \(AM = 5x\) и \(BM = 3x\) для некоторого положительного числа \(x\). Тогда коэффициент подобия \(k\) равен отношению \(BM\) к \(AM\): \(k = \frac{BM}{AM} = \frac{3x}{5x} = \frac{3}{5}\).

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия. Следовательно, \(\frac{\text{Площадь}(\triangle BMC)}{\text{Площадь}(\triangle AMD)} = k^2\). Подставляя значение \(k\), получаем: \(\frac{\text{Площадь}(\triangle BMC)}{\text{Площадь}(\triangle AMD)} = \left(\frac{3}{5}\right)^2 = \frac{9}{25}\).

Известно, что площадь треугольника \(AMD\) равна \(32 \text{ см}^2\). Используя найденное отношение площадей, можно вычислить площадь треугольника \(BMC\): \(\text{Площадь}(\triangle BMC) = \frac{9}{25} \times \text{Площадь}(\triangle AMD)\). Подставляя значение площади \(\triangle AMD\), получаем: \(\text{Площадь}(\triangle BMC) = \frac{9}{25} \times 32 = \frac{288}{25}\). При выполнении деления, \(\frac{288}{25} = 11.52 \text{ см}^2\).

Площадь трапеции \(ABCD\) может быть найдена как разность площадей большего треугольника \(AMD\) и меньшего треугольника \(BMC\). То есть, \(\text{Площадь}(ABCD) = \text{Площадь}(\triangle AMD) — \text{Площадь}(\triangle BMC)\). Подставляя известные значения площадей: \(\text{Площадь}(ABCD) = 32 — 11.52\). В результате вычислений получаем: \(\text{Площадь}(ABCD) = 20.48 \text{ см}^2\).