ГДЗ по Геометрии 9 Класс Углубленный уровень Учебник 📕 Мерзляк, Поляков — Все Части

Геометрия

9 класс углубленный уровень учебник Мерзляк

9 класс

Тип

Гдз, Решебник.

Авторы

Мерзляк А.Г., Поляков В.М.

Год

2019-2022

Издательство

Вентана-граф

Описание

ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 26.154 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Задача

В треугольнике \(ABC\) известно, что \(AB = BC = 13 \text{ см}, AC = 10 \text{ см}\). К окружности, вписанной в этот треугольник, проведена касательная, параллельная основанию \(AC\), которая пересекает стороны \(AB\) и \(BC\) в точках \(M\) и \(K\) соответственно. Вычислите площадь треугольника \(MBK\).

Краткий ответ:

Высота треугольника \(ABC\) равна \(BD = \sqrt{13^2 — 5^2} = 12\) см.
Площадь треугольника \(ABC\) равна \(S_{ABC} = \frac{1}{2} \times 10 \times 12 = 60\) см\(^2\).
Полупериметр треугольника \(ABC\) равен \(p = \frac{13+13+10}{2} = 18\) см.
Радиус вписанной окружности равен \(r = \frac{S_{ABC}}{p} = \frac{60}{18} = \frac{10}{3}\) см.
Высота треугольника \(MBK\) равна \(h_{MBK} = BD — 2r = 12 — 2 \times \frac{10}{3} = 12 — \frac{20}{3} = \frac{36-20}{3} = \frac{16}{3}\) см.
Коэффициент подобия треугольников \(MBK\) и \(ABC\) равен \(k = \frac{h_{MBK}}{BD} = \frac{16/3}{12} = \frac{16}{36} = \frac{4}{9}\).
Площадь треугольника \(MBK\) равна \(S_{MBK} = k^2 \times S_{ABC} = \left(\frac{4}{9}\right)^2 \times 60 = \frac{16}{81} \times 60 = \frac{960}{81} = \frac{320}{27}\) см\(^2\).

Подробный ответ:

Высота треугольника \(ABC\) равна \(BD = \sqrt{13^2 — 5^2} = \sqrt{169 — 25} = \sqrt{144} = 12\) см.

Площадь треугольника \(ABC\) равна \(S_{ABC} = \frac{1}{2} \times AC \times BD = \frac{1}{2} \times 10 \times 12 = 5 \times 12 = 60\) см\(^2\).

Полупериметр треугольника \(ABC\) равен \(p = \frac{AB + BC + AC}{2} = \frac{13 + 13 + 10}{2} = \frac{36}{2} = 18\) см.

Радиус вписанной окружности \(r\) находится по формуле \(S = p \times r\), откуда \(r = \frac{S_{ABC}}{p} = \frac{60}{18} = \frac{10}{3}\) см.

Поскольку касательная \(MK\) параллельна основанию \(AC\), расстояние от \(AC\) до \(MK\) равно \(2r\). Высота треугольника \(MBK\), обозначим ее \(h_{MBK}\), является частью высоты \(BD\). Следовательно, \(h_{MBK} = BD — 2r = 12 — 2 \times \frac{10}{3} = 12 — \frac{20}{3}\). Приводя к общему знаменателю, \(h_{MBK} = \frac{36}{3} — \frac{20}{3} = \frac{16}{3}\) см.

Треугольник \(MBK\) подобен треугольнику \(ABC\), так как \(MK \parallel AC\). Коэффициент подобия \(k\) равен отношению их высот: \(k = \frac{h_{MBK}}{BD} = \frac{16/3}{12} = \frac{16}{3 \times 12} = \frac{16}{36}\). Сокращая дробь на 4, получаем \(k = \frac{4}{9}\).

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия. Таким образом, площадь треугольника \(MBK\) равна \(S_{MBK} = k^2 \times S_{ABC} = \left(\frac{4}{9}\right)^2 \times 60 = \frac{16}{81} \times 60\). Выполняя умножение, \(S_{MBK} = \frac{16 \times 60}{81} = \frac{960}{81}\). Сокращая дробь на 3, получаем \(S_{MBK} = \frac{320}{27}\) см\(^2\).

Оцени решение