ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 26.155 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы
На продолжениях медиан \(AA_1, BB_1\) и \(CC_1\) треугольника \(ABC\) отметили соответственно точки \(A_2, B_2\) и \(C_2\) так, что \(AA_1 = A_1A_2, BB_1 = \frac{1}{2}BB_2, CC_1 = \frac{1}{3}CC_2\) (рис. 26.6). Найдите площадь треугольника \(A_1B_1C_2\), если площадь треугольника \(ABC\) равна \(1\).
При гомотетии \( СК= -\frac{5}{4} \) в точке пересечения мериадиан, отсюда
Площадь треугольника \( A_1B_1C_2 \) равна \( \frac{16}{25} \).
При гомотетии с коэффициентом \(k = -\frac{5}{4}\) точка пересечения меридиан является центром гомотетии. Площадь треугольника \(A_1B_1C_2\) равна \(\frac{16}{25}\) площади исходного треугольника \(ABC\).
Рассмотрим это более подробно. Пусть координаты вершин исходного треугольника \(ABC\) равны \(A(x_1, y_1), B(x_2, y_2), C(x_3, y_3)\). Тогда координаты вершин треугольника \(A_1B_1C_2\), полученного в результате гомотетии с коэффициентом \(k = -\frac{5}{4}\), будут равны:
\(A_1(x_1 \cdot (-\frac{5}{4}), y_1 \cdot (-\frac{5}{4}))\)
\(B_1(x_2 \cdot (-\frac{5}{4}), y_2 \cdot (-\frac{5}{4}))\)
\(C_2(x_3 \cdot (-\frac{5}{4}), y_3 \cdot (-\frac{5}{4}))\)
Площадь треугольника \(ABC\) вычисляется по формуле:
\(S_{ABC} = \frac{1}{2} \left| (x_2 — x_1)(y_3 — y_1) — (x_3 — x_1)(y_2 — y_1) \right|\)
Площадь треугольника \(A_1B_1C_2\), полученного в результате гомотетии, равна:
\(S_{A_1B_1C_2} = \left(-\frac{5}{4}\right)^2 \cdot S_{ABC} = \frac{16}{25} \cdot S_{ABC}\)
Таким образом, площадь треугольника \(A_1B_1C_2\) равна \(\frac{16}{25}\) площади исходного треугольника \(ABC\).