ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 26.157 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы
На стороне \(AB\) квадрата \(ABCD\) построили равносторонний треугольник \(AKB\) (точка \(K\) не принадлежит квадрату). Найдите радиус окружности, описанной около треугольника \(CKD\), если \(AB = 1 \text{ см}\).
Радиус окружности, описанной около треугольника \(CKD\), равен \(1 \text{ см}\).
Для решения задачи начнем с анализа расположения фигур.
На стороне \(AB\) квадрата \(ABCD\) построили равносторонний треугольник \(AKB\). Пусть \(A(0, 0)\), \(B(1, 0)\), \(C(1, 1)\), \(D(0, 1)\). Длина стороны квадрата \(AB = 1 \text{ см}\).
Так как \(AKB\) равносторонний, угол \( \angle AKB = 60^\circ\). Высота равностороннего треугольника равна \( \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot AB = \frac{\sqrt{3}}{2}\). Таким образом, координаты точки \(K\) будут \(K\left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)\).
Теперь определим координаты точек треугольника \(CKD\): \(C(1, 1)\), \(K\left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)\), \(D(0, 1)\).
Для нахождения радиуса \(R\) описанной окружности треугольника \(CKD\) используем формулу:
\(R = \frac{abc}{4S}\),
где \(a\), \(b\), \(c\) — длины сторон треугольника, а \(S\) — площадь треугольника.
Длину сторон треугольника \(CKD\) найдем с помощью расстояний между точками:
\(CK = \sqrt{\left(1 — \frac{1}{2}\right)^2 + \left(1 — \frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2} = \sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2 + \left(1 — \frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2}\).
\(KD = \sqrt{\left(\frac{1}{2} — 0\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2} — 1\right)^2}\).
\(DC = \sqrt{(1 — 0)^2 + (1 — 1)^2} = 1\).
Площадь треугольника \(CKD\) можно найти по формуле:
\(S = \frac{1}{2} \left| x_1(y_2 — y_3) + x_2(y_3 — y_1) + x_3(y_1 — y_2) \right|\).
Подставляя координаты \(C(1, 1)\), \(K\left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)\), \(D(0, 1)\):
\(S = \frac{1}{2} \left| 1\left(\frac{\sqrt{3}}{2} — 1\right) + \frac{1}{2}(1 — 1) + 0(1 — \frac{\sqrt{3}}{2}) \right| = \frac{1}{2} \left| 1\left(\frac{\sqrt{3}}{2} — 1\right) \right| = \frac{1 — \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}\).
После нахождения всех необходимых величин, подставляем их в формулу для радиуса \(R\) и получаем:
\(R = 1 \text{ см}\).
