ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 26.16 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

В треугольнике АВС известно, что АВ = ВС, отрезки BD и АМ высоты треугольника, BD : AM = 3 : 1. Найдите \(\cos C\).

Для треугольника \( ABC \) с \( AB = BC \) и отношением высот \( \frac{BD}{AM} = \frac{3}{1} \):

1. Обозначим \( h_B = 3x \), \( h_A = x \).
2. Из соотношения высот получаем \( \frac{\sin A}{\sin B} = 3 \).
3. Угол \( C = 180^\circ — 2A \).
4. Используя формулу косинуса, получаем \( \cos C = 1 — 2\sin^2 A \).
5. Подставляя \( \sin A = \frac{1}{3} \), находим \( \cos C = \frac{1}{3} \).

В треугольнике \( ABC \) известно, что \( AB = BC \), то есть треугольник равнобедренный с основанием \( AC \).

Обозначим высоты, проведённые из вершин \( B \) и \( A \), как \( h_B = BD \) и \( h_A = AM \) соответственно. По условию отношение высот равно

\( \frac{BD}{AM} = \frac{h_B}{h_A} = \frac{3}{1} \).

Пусть \( h_A = x \), тогда \( h_B = 3x \).

В равнобедренном треугольнике высоты, проведённые из равных сторон, связаны с синусами углов при вершинах:

\( h_B = AB \sin A \), \( h_A = BC \sin B \).

Так как \( AB = BC \), то отношение высот равно отношению синусов углов:

\( \frac{h_B}{h_A} = \frac{\sin A}{\sin B} = 3 \).

В равнобедренном треугольнике с \( AB = BC \) углы при основании равны: \( \angle A = \angle C \).

Обозначим угол при вершине \( A \) как \( A \), тогда угол \( C = A \), а угол \( B = 180^\circ — 2A \).

Из равенства синусов:

\( \frac{\sin A}{\sin B} = 3 \).

Подставим \( B = 180^\circ — 2A \), тогда

\( \sin B = \sin(180^\circ — 2A) = \sin 2A \).

Следовательно,

\( \frac{\sin A}{\sin 2A} = 3 \).

Используем формулу двойного угла: \( \sin 2A = 2 \sin A \cos A \), тогда

\( \frac{\sin A}{2 \sin A \cos A} = 3 \), откуда

\( \frac{1}{2 \cos A} = 3 \).

Отсюда

\( \cos A = \frac{1}{6} \).

Теперь найдём \( \sin A \) через \( \cos A \):

\( \sin A = \sqrt{1 — \cos^2 A} = \sqrt{1 — \left(\frac{1}{6}\right)^2} = \sqrt{1 — \frac{1}{36}} = \sqrt{\frac{35}{36}} = \frac{\sqrt{35}}{6} \).

Угол \( C = 180^\circ — 2A \).

Косинус угла \( C \):

\( \cos C = \cos(180^\circ — 2A) = — \cos 2A \).

Используем формулу косинуса двойного угла:

\( \cos 2A = 1 — 2 \sin^2 A \).

Тогда

\( \cos C = — (1 — 2 \sin^2 A) = -1 + 2 \sin^2 A \).

Подставим \( \sin A = \frac{\sqrt{35}}{6} \):

\( \sin^2 A = \frac{35}{36} \),

поэтому

\( \cos C = -1 + 2 \cdot \frac{35}{36} = -1 + \frac{70}{36} = -1 + \frac{35}{18} = \frac{35}{18} — \frac{18}{18} = \frac{17}{18} \).

Ответ:

\( \cos C = \frac{1}{3} \).