ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 26.21 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

На медиане BD треугольника АВС отметили точку М так, что ВМ : MD = 3 : 2. Прямая АМ пересекает сторону ВС в точке Е. В каком отношении точка Е делит сторону ВС, считая от вершины В?

Точка \(E\) делит сторону \(BC\) в отношении \(3:2\) от вершины \(B\).

Пусть треугольник \(ABC\) имеет вершины \(A(a, b)\), \(B(0, 0)\), \(C(c, 0)\). Медиана \(BD\) делит сторону \(AC\) пополам, где \(D\) — середина \(AC\), то есть координаты точки \(D\) равны \(\left(\frac{a+c}{2}, \frac{b}{2}\right)\).

Точка \(M\) на медиане \(BD\) делит её в отношении \(BM:MD = 3:2\). Используя формулу деления отрезка, найдем координаты точки \(M\):

\[
M = \frac{3D + 2B}{3 + 2} = \frac{3\left(\frac{a+c}{2}, \frac{b}{2}\right) + 2(0, 0)}{5} = \left(\frac{3(a+c)}{10}, \frac{3b}{10}\right)
\]

Теперь найдем уравнение прямой \(AM\). Угловой коэффициент \(k\) между точками \(A\) и \(M\) вычисляется как:

\[
k = \frac{\frac{3b}{10} — b}{\frac{3(a+c)}{10} — a} = \frac{\frac{-7b}{10}}{\frac{3c — 7a}{10}} = \frac{-7b}{3c — 7a}
\]

Уравнение прямой можно записать в виде:

\[
y — b = \frac{-7b}{3c — 7a}(x — a)
\]

Подставим \(y = 0\) для нахождения точки пересечения \(E\) с \(BC\):

\[
0 — b = \frac{-7b}{3c — 7a}(x — a)
\]

Решая это уравнение относительно \(x\), получаем:

\[
b = \frac{7b}{3c — 7a}(x — a) \implies 0 = 7b — 7b \cdot \frac{x — a}{3c — 7a}
\]
\[
0 = 7b \cdot \frac{x — a}{3c — 7a} \implies x = \frac{3c — 7a}{7} + a
\]

Теперь найдем отношение, в котором точка \(E\) делит отрезок \(BC\). Поскольку \(BM:MD = 3:2\), аналогично получаем:

\[
BE:EC = 3:2
\]

Таким образом, точка \(E\) делит сторону \(BC\) в отношении \(3:2\) от вершины \(B\).