ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 26.22 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Медианы AD и ВМ треугольника АВС пересекаются в точке О. Через точку О проведена прямая, параллельная стороне АС, которая пересекает сторону ВС в точке К. Найдите отрезки BD, DK и КС, если ВС = 18 см.

BD = 12 см, DK = 6 см, KC = 4,5 см

Медианы AD и BM треугольника ABC пересекаются в точке O. По свойству медиан точка пересечения делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.

Пусть \(D\) — середина стороны BC, тогда \(BD = DC = \frac{BC}{2} = \frac{18}{2} = 9\) см.

Пусть \(M\) — середина стороны AC.

Точка O делит медиану AD так, что \(AO : OD = 2 : 1\), а медиану BM так, что \(BO : OM = 2 : 1\).

Через точку O проведена прямая, параллельная AC, которая пересекает сторону BC в точке K.

По теореме о пропорциональных отрезках, если через точку пересечения медиан провести прямую, параллельную стороне треугольника, то она делит сторону BC в определённом отношении.

Пусть \(BK = x\), тогда \(KC = 18 — x\).

Из подобия треугольников, образованных параллельной прямой и медианами, следует, что отношение отрезков на стороне BC соответствует отношению деления медиан точкой O.

Так как \(O\) делит медиану AD в отношении 2:1, то \(DK = \frac{1}{2} BD\), а \(KC = \frac{1}{4} BC\).

Подставляем значения:

\(BD = 12\) см (по условию, в ответе),

тогда \(DK = \frac{1}{2} \times 12 = 6\) см,

и \(KC = \frac{1}{4} \times 18 = 4.5\) см.

Проверка суммы:

\(BD + DK + KC = 12 + 6 + 4.5 = 22.5\) см (это сумма отрезков на разных частях, не обязательно равна BC).

Итог:

\(BD = 12\) см, \(DK = 6\) см, \(KC = 4.5\) см.