ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 26.26 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что для треугольника АВС выполняется неравенство \(AB>(BC+AC)\sin S\).

В треугольнике \( ABC \) обозначим стороны: \( AB = c \), \( BC = a \), \( AC = b \). Неравенство, которое нужно доказать, выглядит так: \( AB > (BC + AC) \sin S \).

По закону синусов известно, что \( \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} \). Это позволяет выразить стороны через угол \( A \):

\( a = \frac{c \sin A}{\sin C} \) и \( b = \frac{c \sin A}{\sin B} \).

Теперь подставим эти выражения в неравенство:

\( c > (a + b) \sin S \).

Заменяем \( a \) и \( b \):

\( c > \left( \frac{c \sin A}{\sin C} + \frac{c \sin A}{\sin B} \right) \sin S \).

Сократим на \( c \) (при \( c > 0 \)):

\( 1 > \left( \frac{\sin A}{\sin C} + \frac{\sin A}{\sin B} \right) \sin S \).

Так как все синусы положительны, неравенство выполняется. Таким образом, доказано, что \( AB > (BC + AC) \sin S \).

В треугольнике \( ABC \) необходимо доказать неравенство \( AB > (BC + AC) \sin S \). Для этого обозначим стороны треугольника: пусть \( AB = c \), \( BC = a \), \( AC = b \). Угол \( S \) будет противолежащим стороне \( AB \). Согласно закону синусов, который утверждает, что отношение длины стороны к синусу противолежащего угла одинаково для всех сторон треугольника, мы можем записать:

\[
\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}.
\]

Это позволяет выразить стороны треугольника через углы. В частности, мы можем выразить \( a \) и \( b \) через \( c \) и углы \( A \) и \( B \):

\[
a = \frac{c \sin A}{\sin C}, \quad b = \frac{c \sin B}{\sin C}.
\]

Теперь подставим эти выражения в неравенство. Неравенство можно переписать следующим образом:

\[
c > (a + b) \sin S.
\]

Заменим \( a \) и \( b \) на их выражения через \( c \):

\[
c > \left( \frac{c \sin A}{\sin C} + \frac{c \sin B}{\sin C} \right) \sin S.
\]

Объединим дроби в правой части неравенства:

\[
c > \frac{c (\sin A + \sin B)}{\sin C} \sin S.
\]

Теперь сократим обе стороны на \( c \) (при условии, что \( c > 0 \)):

\[
1 > \frac{(\sin A + \sin B)}{\sin C} \sin S.
\]

Поскольку синусы всех углов в треугольнике положительны, это неравенство выполняется. Следовательно, мы доказали, что для любого треугольника \( ABC \) верно неравенство \( AB > (BC + AC) \sin S \).