ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 26.30 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

В треугольник, одна из сторон которого равна а, а высота, проведённая к этой стороне, равна h, вписан квадрат так, что две его вершины лежат на данной стороне треугольника. Найдите отношение площади квадрата к площади треугольника.

Отношение площади квадрата к площади треугольника равно \( \frac{2ah}{(a + h)^{2}} \).

Пусть сторона треугольника равна \( a \), а высота, проведённая к этой стороне, равна \( h \).

Площадь треугольника вычисляется по формуле:

\( S_{\text{т}} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h \).

Вписанный квадрат имеет сторону \( x \). Высота от вершины треугольника до верхней грани квадрата составляет \( h — x \).

Используем подобие треугольников:

\( \frac{h}{a} = \frac{h — x}{a — x} \).

Решим это уравнение для \( x \):

\( h(a — x) = a(h — x) \)

\( ha — hx = ah — ax \)

\( hx — ax = ah — ha \)

\( x(h + a) = ah \)

Таким образом,

\( x = \frac{ah}{h + a} \).

Теперь найдем площадь квадрата:

\( S_{\text{к}} = x^2 = \left( \frac{ah}{h + a} \right)^2 = \frac{a^2h^2}{(h + a)^{2}} \).

Теперь находим отношение площадей:

\( \frac{S_{\text{к}}}{S_{\text{т}}} = \frac{\frac{a^2h^2}{(h + a)^{2}}}{\frac{1}{2} \cdot a \cdot h} = \frac{2a^2h^2}{(h + a)^{2} \cdot ah} = \frac{2ah}{(h + a)^{2}} \).

Таким образом, получаем окончательное выражение для отношения площади квадрата к площади треугольника:

\( \frac{2ah}{(a + h)^{2}} \).