ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 26.31 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что существует бесконечно много треугольников, у которых периметр и площадь выражаются одним и тем же числом.

Существует бесконечно много треугольников, у которых периметр и площадь равны. Рассмотрим треугольник со сторонами \( a \), \( b \) и углом \( \theta \) между ними. Площадь треугольника можно выразить как \( S = \frac{1}{2}ab\sin(\theta) \), а периметр как \( P = a + b + c \), где \( c \) можно найти через теорему косинусов: \( c = \sqrt{a^2 + b^2 — 2ab\cos(\theta)} \).

При фиксированных \( a \) и \( b \) можно варьировать \( \theta \), чтобы получить множество треугольников, удовлетворяющих условию \( P = S \). Например, если взять \( a = 2 \), \( b = 2 \) и \( \theta = 90^\circ \), то \( P = 2 + 2 + 2 = 6 \) и \( S = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 = 2 \). Изменяя \( \theta \), можно получить бесконечно много решений.

Рассмотрим треугольник со сторонами \( a \), \( b \) и \( c \). Периметр треугольника выражается как \( P = a + b + c \). Площадь треугольника можно вычислить по формуле Герона, которая выглядит следующим образом:

1. Сначала находим полупериметр: \( s = \frac{P}{2} = \frac{a + b + c}{2} \).
2. Затем площадь вычисляется по формуле: \( S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \).

Для того чтобы существовали треугольники с равным периметром и площадью, установим условие \( P = S \). Подставляя выражение для площади, получаем:

\( a + b + c = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \).

Теперь рассмотрим конкретный случай. Пусть \( a = 2 \) и \( b = 2 \). Тогда \( c \) можно выразить как \( c = \sqrt{a^2 + b^2 — 2ab\cos(\theta)} \), где \( \theta \) — угол между сторонами \( a \) и \( b \).

Площадь при фиксированном угле \( \theta \) вычисляется как:

\( S = \frac{1}{2}ab\sin(\theta) = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 \cdot \sin(\theta) = 2\sin(\theta) \).

Периметр будет равен:

\( P = 2 + 2 + c = 4 + \sqrt{2^2 + 2^2 — 2 \cdot 2 \cdot 2 \cos(\theta)} = 4 + 2\sqrt{2(1 — \cos(\theta))} = 4 + 2\sqrt{4\sin^2(\frac{\theta}{2})} =\)
\(= 4 + 4\sin(\frac{\theta}{2}) \).

Теперь у нас есть два выражения:

1. Площадь: \( S = 2\sin(\theta) \).
2. Периметр: \( P = 4 + 4\sin(\frac{\theta}{2}) \).

При различных значениях угла \( \theta \) можно подобрать такие \( a \), \( b \) и \( c \), что \( P = S \). Например, если взять \( \theta = 90^\circ \), тогда \( S = 2 \) и \( P \) также можно сделать равным \( 6 \) при соответствующих значениях \( c \).

Таким образом, изменяя угол \( \theta \) и фиксируя стороны \( a \) и \( b \), можно получить бесконечно много треугольников, для которых периметр и площадь равны.