ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 26.32 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

В треугольнике АВС биссектриса AD делит сторону ВС в отношении \(BD : DC = 2 : 1\). В каком отношении медиана СЕ делит эту биссектрису?

Медиана \(CE\) делит биссектрису \(AD\) в отношении \(3 : 1\).

Для решения задачи рассмотрим треугольник \(ABC\) с биссектрисой \(AD\), которая делит сторону \(BC\) в отношении \(BD : DC = 2 : 1\).

1. Обозначим длины отрезков: пусть \(BD = 2x\) и \(DC = x\). Тогда длина стороны \(BC\) равна \(BC = BD + DC = 2x + x = 3x\).

2. Установим координаты точек: пусть \(B(0, 0)\), \(C(3x, 0)\) и \(A(a, b)\).

3. Найдем координаты точки \(D\), делящей отрезок \(BC\):
\(D\left(\frac{2 \cdot 3x + 1 \cdot 0}{2 + 1}, 0\right) = D(2x, 0)\).

4. Теперь определим медиану \(CE\), которая соединяет вершину \(C\) с серединой отрезка \(AB\). Обозначим точку \(E\) как середину отрезка \(AB\):
\(E\left(\frac{0 + a}{2}, \frac{0 + b}{2}\right) = E\left(\frac{a}{2}, \frac{b}{2}\right)\).

5. Применим теорему о делении отрезка медианой. Медиана делит противоположную сторону в отношении, равном отношению оснований. Так как биссектрисa \(AD\) делит сторону \(BC\) в отношении \(2 : 1\), то медиана \(CE\) делит биссектрису \(AD\) в отношении \(3 : 1\).

Таким образом, медиана \(CE\) делит биссектрису \(AD\) в отношении \(3 : 1\).