ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 26.34 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

В остроугольном треугольнике АВС проведены высоты СС1 и АА1. Известно, что АС = 1 см и \(\angle CAC_1 = \alpha\). Найдите площадь круга, описанного около треугольника С1ВА1.

Площадь круга, описанного около треугольника \(C_1BA_1\), равна \(\frac{\tan^2(\alpha) \cdot \pi}{4}\).

Пусть \( AC = 1 \) см и угол \( \angle CAC_1 = \alpha \).

Высота \( CC_1 \) треугольника \( ABC \) делит его на два прямоугольных треугольника. В треугольнике \( ACC_1 \) по определению высоты имеем:

\( C_1C = AC \cdot \sin(\alpha) = 1 \cdot \sin(\alpha) = \sin(\alpha) \).

В треугольнике \( AAB \) высота \( AA_1 \) также делит треугольник на два прямоугольных треугольника. Здесь:

\( A_1A = AC \cdot \tan(\alpha) = 1 \cdot \tan(\alpha) = \tan(\alpha) \).

Теперь найдем радиус \( R \) описанной окружности треугольника \( C_1BA_1 \). Радиус можно выразить через сторону и угол:

\( R = \frac{a}{2 \sin A} \),

где \( a \) — сторона, против угла \( A \).

Для площади круга, описанного около треугольника, используем формулу:

\( S = \pi R^2 \).

Подставим радиус:

\( R = \frac{\tan(\alpha)}{2 \sin(\alpha)} \).

Тогда площадь будет равна:

\( S = \pi \left( \frac{\tan(\alpha)}{2 \sin(\alpha)} \right)^2 = \frac{\pi \tan^2(\alpha)}{4 \sin^2(\alpha)} \).

Таким образом, площадь круга, описанного около треугольника \( C_1BA_1 \), равна \( \frac{\tan^2(\alpha) \cdot \pi}{4} \).