ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 26.35 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Сторона треугольника равна 36 см. Прямая, параллельная данной стороне, делит площадь треугольника пополам. Найдите длину отрезка этой прямой, заключённого между сторонами треугольника.

1. Площадь треугольника \( S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot h = 18h \).
2. Площадь нового треугольника \( S_{new} = \frac{S}{2} = 9h \).
3. Отношение площадей равно квадрату отношения высот: \( \frac{S_{new}}{S} = \left( \frac{h_{new}}{h} \right)^2 \).
4. Получаем \( \frac{1}{2} = \left( \frac{h_{new}}{h} \right)^2 \), следовательно, \( h_{new} = \frac{h}{\sqrt{2}} \).
5. Длина отрезка \( CD = AB \cdot \frac{h_{new}}{h} = 36 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = 18\sqrt{2} \) см.

Площадь треугольника \( S \) вычисляется по формуле \( S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot h \). Подставляя значение стороны \( AB = 36 \) см, получаем \( S = \frac{1}{2} \cdot 36 \cdot h = 18h \).

Прямая \( CD \) делит площадь треугольника пополам, поэтому площадь нового треугольника \( S_{new} \) равна \( S_{new} = \frac{S}{2} = \frac{18h}{2} = 9h \).

Поскольку треугольники \( ABC \) и \( CDE \) подобны, отношение их площадей равно квадрату отношения их высот: \( \frac{S_{new}}{S} = \left( \frac{h_{new}}{h} \right)^2 \). Подставляя значения, получаем \( \frac{9h}{18h} = \left( \frac{h_{new}}{h} \right)^2 \), что упрощается до \( \frac{1}{2} = \left( \frac{h_{new}}{h} \right)^2 \).

Из этого уравнения находим высоту нового треугольника: \( \frac{h_{new}}{h} = \frac{1}{\sqrt{2}} \). Таким образом, \( h_{new} = \frac{h}{\sqrt{2}} \).

Теперь вычислим длину отрезка \( CD \). Длина отрезка \( CD \) равна \( CD = AB \cdot \frac{h_{new}}{h} = 36 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{36}{\sqrt{2}} = 18\sqrt{2} \) см.