ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 26.37 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

На стороне АС треугольника АВС отметили точку К так, что вписанные окружности треугольников АВК и ВСК касаются. Докажите, что точка К принадлежит вписанной окружности треугольника АВС.

Если вписанные окружности треугольников \( ABK \) и \( BCK \) касаются, то расстояние между центрами этих окружностей равно сумме их радиусов: \( d(I_1, I_2) = r_1 + r_2 \). Поскольку точка касания \( P \) находится на равном расстоянии от сторон треугольников \( ABK \) и \( BCK \), то она также будет находиться на расстоянии \( r \) от сторон треугольника \( ABC \). Это доказывает, что точка \( K \) принадлежит вписанной окружности треугольника \( ABC \).

Пусть \( I \) — центр вписанной окружности треугольника \( ABC \), \( I_1 \) — центр вписанной окружности треугольника \( ABK \), \( I_2 \) — центр вписанной окружности треугольника \( BCK \).

Согласно условию, окружности \( I_1 \) и \( I_2 \) касаются в точке \( P \). Это означает, что расстояние между центрами окружностей равно сумме их радиусов, то есть \( d(I_1, I_2) = r_1 + r_2 \), где \( r_1 \) и \( r_2 \) — радиусы окружностей \( I_1 \) и \( I_2 \) соответственно.

Поскольку точка \( P \) является точкой касания, она находится на одинаковом расстоянии от сторон треугольников \( ABK \) и \( BCK \). Обозначим это расстояние как \( d \). Тогда для треугольника \( ABK \) имеем \( d = r_1 \), а для треугольника \( BCK \) — \( d = r_2 \).

Так как \( P \) также находится на расстоянии \( r \) от сторон треугольника \( ABC \) (где \( r \) — радиус вписанной окружности треугольника \( ABC \)), можно записать, что \( r_1 + r_2 = r \).

Следовательно, если \( K \) таково, что окружности \( I_1 \) и \( I_2 \) касаются, то точка \( K \) должна находиться на окружности, которая является вписанной окружностью треугольника \( ABC \). Это завершает доказательство того, что точка \( K \) принадлежит вписанной окружности треугольника \( ABC \).