ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 26.38 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

В треугольник вписана окружность радиуса 3. Найдите стороны треугольника, если известно, что одна из них разделена точкой касания на отрезки, равные 4 см и 3 см.

1. Обозначим стороны треугольника как \(a = 7 \, \text{см}\), \(b\) и \(c\). Из условия задачи знаем, что \(a + b = c + 1\).

2. Применим теорему Пифагора: \(c^2 = a^2 + b^2\). Подставим \(a = 7\): \(c^2 = 7^2 + b^2\), то есть \(c^2 = 49 + b^2\).

3. Из первого уравнения выразим \(c\): \(c = a + b — 1\). Подставим значение \(a\): \(c = 7 + b — 1 = b + 6\).

4. Подставим \(c\) во второе уравнение: \((b + 6)^2 = 49 + b^2\). Раскроем скобки: \(b^2 + 12b + 36 = 49 + b^2\).

5. Упростим уравнение: \(12b + 36 = 49\), тогда \(12b = 13\), отсюда \(b = \frac{13}{12}\).

6. Найдем \(c\): \(c = b + 6 = \frac{13}{12} + 6 = \frac{13 + 72}{12} = \frac{85}{12}\).

7. Таким образом, стороны треугольника: \(7 \, \text{см}, \frac{13}{12} \, \text{см}, \frac{85}{12} \, \text{см}\).

Обозначим стороны треугольника как \(a\), \(b\) и \(c\), где \(c\) — гипотенуза. Из условия задачи известно, что одна из сторон треугольника делится на два отрезка длиной 4 см и 3 см. Сложив эти отрезки, получаем длину стороны \(a\): \(a = 4 + 3 = 7 \, \text{см}\). Это значение необходимо для дальнейших расчетов.

Далее, поскольку в треугольнике вписана окружность, мы можем воспользоваться формулой для радиуса вписанной окружности. Для прямоугольного треугольника эта формула записывается как \(r = \frac{a + b — c}{2}\). В нашем случае известно, что радиус \(r = 3\) см и длина стороны \(a = 7\) см. Подставляем известные значения в формулу: \(3 = \frac{7 + b — c}{2}\). Умножив обе стороны уравнения на 2, получаем \(6 = 7 + b — c\), что можно упростить до \(b — c = -1\).

Теперь применим теорему Пифагора, которая для прямоугольного треугольника выглядит следующим образом: \(c^2 = a^2 + b^2\). Подставим значение \(a\): \(c^2 = 7^2 + b^2\), что приводит к \(c^2 = 49 + b^2\). Из первого уравнения \(b — c = -1\) выразим \(c\): \(c = b + 1\). Подставим это выражение во второе уравнение: \((b + 1)^2 = 49 + b^2\). Раскроем скобки: \(b^2 + 2b + 1 = 49 + b^2\).

Сократив \(b^2\) с обеих сторон, получаем \(2b + 1 = 49\). Упростим уравнение до \(2b = 48\), откуда \(b = 24\). Теперь, зная \(b\), можем найти \(c\): подставим \(b\) в выражение \(c = b + 1\), что дает \(c = 24 + 1 = 25\).

Таким образом, мы получили длины сторон треугольника: \(a = 7 \, \text{см}\), \(b = 24 \, \text{см}\) и \(c = 25 \, \text{см}\).