ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 26.39 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Прямоугольный треугольник АВС разделён высотой CD, проведённой к гипотенузе, на два треугольника: BCD и ACD. Радиусы окружностей, вписанных в эти треугольники, равны 4 см и 3 см соответственно. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник АВС.

$r = \sqrt{r_1^2 + r_2^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$ см

Пусть радиус вписанной окружности треугольника $ABC$ равен $r$, а радиусы вписанных окружностей треугольников $ACD$ и $CBD$ равны соответственно $r_1 = 3$ см и $r_2 = 4$ см.

Треугольники $ABC$, $ACD$ и $CBD$ подобны, так как они прямоугольные и имеют общий угол при вершине $C$.

По свойству подобных треугольников, отношение радиусов вписанных окружностей равно отношению соответствующих сторон, то есть:
$r_1 : r_2 : r = AC : BC : AB$.

Пусть $AC = a$, $BC = b$, $AB = c$. Тогда:
$\frac{r_1}{a} = \frac{r_2}{b} = \frac{r}{c}$.

Поскольку треугольник $ABC$ прямоугольный, его катеты $a$ и $b$, гипотенуза $c$.

Используем теорему Пифагора:
$c^2 = a^2 + b^2$.

Так как $\frac{r_1}{a} = \frac{r_2}{b} = \frac{r}{c}$, выразим $a, b, c$ через радиусы:
$a = \frac{r_1}{k}$,
$b = \frac{r_2}{k}$,
$c = \frac{r}{k}$,
где $k$ — общий коэффициент пропорциональности.

Подставим в теорему Пифагора:
$\left(\frac{r}{k}\right)^2 = \left(\frac{r_1}{k}\right)^2 + \left(\frac{r_2}{k}\right)^2$.

Домножим обе части на $k^2$:
$r^2 = r_1^2 + r_2^2$.

Подставим значения:
$r^2 = 3^2 + 4^2$.

$r^2 = 9 + 16$.

$r^2 = 25$.

$r = \sqrt{25}$.

$r = 5$ см.