ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 26.41 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Прямая, проходящая через центр окружности, вписанной в треугольник, разбивает его на две части. Докажите, что площадь и периметр треугольника при этом делятся в одном и том же отношении.

Отношение площадей треугольников, делимых прямой через центр вписанной окружности, равно отношению отрезков, на которые делится сторона:

\[
\frac{S_{DKO}}{S_{KOL}} = \frac{dk}{kl}
\]

Периметры треугольников также делятся в том же отношении:

\[
\frac{P_1}{P_2} = \frac{dk + de + ek}{kl + le + ek} = \frac{dk}{kl}
\]

Следовательно, справедливо:

\[
\frac{S_1}{S_2} = \frac{P_1}{P_2}
\]

Пусть \( S \) — площадь треугольника, \( S_{DKO} \) и \( S_{KOL} \) — площади треугольников, образованных прямой, делящей треугольник на две части.

Отношение площадей можно записать как:

\[
\frac{S_{DKO}}{S_{KOL}} = \frac{dk \cdot r}{kl \cdot r} = \frac{dk}{kl}
\]

где \( dk \) и \( kl \) — отрезки, на которые делит сторону треугольника прямая, а \( r \) — радиус вписанной окружности.

Периметры треугольников \( P_1 \) и \( P_2 \) также делятся в том же отношении:

\[
\frac{dk + de + ek}{kl + le + ek} = \frac{dk}{kl}
\]

где \( de \) и \( le \) — отрезки, соответствующие другим сторонам треугольника.

Следовательно, можно утверждать, что:

\[
\frac{S_1}{S_2} = \frac{P_1}{P_2}
\]

Таким образом, отношение площадей \( S_1 \) и \( S_2 \) равно отношению периметров \( P_1 \) и \( P_2 \).