ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 26.42 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Точка J принадлежит треугольнику АВС и \(\angle BJC = 90^\circ + \frac{1}{\angle BAC}\). Известно, что прямая АJ содержит центр описанной окружности треугольника BJC. Докажите, что точка J центр вписанной окружности треугольника АВС.

Если \( \angle BJC = 90^\circ + \frac{1}{\angle BAC} \) и прямая \( AJ \) содержит центр описанной окружности треугольника \( BJC \), то точка \( J \) является центром вписанной окружности треугольника \( ABC \).

Пусть \( ABC \) — треугольник, \( J \) — точка внутри него, такая что \( \angle BJC = 90^\circ + \frac{1}{\angle BAC} \). Прямая \( AJ \) проходит через центр описанной окружности \( O \) треугольника \( BJC \).

Сначала отметим, что угол \( \angle BJC \) больше \( 90^\circ \). Это указывает на то, что точка \( J \) находится в специфическом положении относительно сторон треугольника \( ABC \).

Поскольку \( AJ \) проходит через \( O \), это означает, что \( J \) лежит на биссектрисе угла \( BAC \). По свойству биссектрисы, угол между биссектрисой и стороной треугольника равен половине угла при вершине. Таким образом, можно записать, что:

\[
\angle BAI = \frac{1}{2} \angle BAC
\]

где \( I \) — точка пересечения биссектрис. Угол \( \angle BJC \) можно выразить через углы треугольника \( ABC \):

\[
\angle BJC = \angle BAI + 90^\circ
\]

Сравнив два выражения для \( \angle BJC \):

\[
90^\circ + \frac{1}{\angle BAC} = \frac{1}{2} \angle BAC + 90^\circ
\]

Убираем \( 90^\circ \) с обеих сторон:

\[
\frac{1}{\angle BAC} = \frac{1}{2} \angle BAC
\]

Умножаем обе стороны на \( 2 \cdot \angle BAC \):

\[
2 = (\angle BAC)^2
\]

Таким образом, мы получаем:

\[
\angle BAC = \sqrt{2}
\]

Это указывает на то, что \( J \) является точкой, где пересекаются биссектрисы углов треугольника \( ABC \), что делает \( J \) центром вписанной окружности.

Следовательно, точка \( J \) является центром вписанной окружности треугольника \( ABC \).