ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 26.43 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Биссектрисы углов А и В треугольника АВС пересекают описанную окружность треугольника АВС в точках К и L соответственно. Отрезки АК и BL пересекаются в точке О так, что \(АО OR = BO\). Докажите, что треугольник АВС равнобедренный.

Пусть \( AO = BO \). Тогда треугольник \( AOB \) равнобедренный, что дает \( \angle OAB = \angle OBA \). Из свойств биссектрис: \( \angle KAO = \angle OAB \) и \( \angle LBO = \angle OBA \). Следовательно, \( \angle KAO = \angle LBO \).

Поскольку \( K \) и \( L \) лежат на окружности, \( \angle AOB = \angle C \). Таким образом, \( AC = BC \), что доказывает, что треугольник \( ABC \) равнобедренный.

Пусть \( O \) — точка пересечения биссектрис углов \( A \) и \( B \) треугольника \( ABC \) с описанной окружностью в точках \( K \) и \( L \). Из условия задачи имеем, что \( AO = BO \).

Так как \( AO = BO \), треугольник \( AOB \) является равнобедренным. Это означает, что углы при основании равны, то есть \( \angle OAB = \angle OBA \).

Согласно свойствам биссектрис, угол \( \angle KAO \) равен углу \( \angle OAB \), а угол \( \angle LBO \) равен углу \( \angle OBA \). Таким образом, получаем равенство углов: \( \angle KAO = \angle OAB \) и \( \angle LBO = \angle OBA \).

Поскольку \( K \) и \( L \) лежат на окружности, угол \( \angle AOB \) будет равен углу \( C \) (угол между сторонами \( AC \) и \( BC \)). Это можно записать как \( \angle AOB = \angle C \).

Теперь мы можем рассмотреть треугольник \( AOB \). Из равенства углов следует, что \( AC \) и \( BC \) являются равными. Таким образом, получаем, что \( AC = BC \).

Таким образом, мы пришли к выводу, что треугольник \( ABC \) является равнобедренным, так как две его стороны равны.