ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 26.44 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

В треугольнике АВС проведена биссектриса ВК. На сторонах ВА и ВС отметили соответственно точки М и И такие, что \(\angle АКМ = \angle СКN = \frac{1}{2}\angle АВС\). Докажите, что прямая АС касательная к окружности, описанной около треугольника MBN.

Докажем, что прямая \( AC \) является касательной к окружности, описанной около треугольника \( MBN \).

1. Пусть \( \angle ABC = 2\alpha \). Тогда \( \angle AKM = \angle CKN = \alpha \).
2. Угол \( \angle MBN = 2\alpha — \alpha = \alpha \).
3. Угол \( \angle NBM = 2\alpha — \alpha = \alpha \).
4. Сумма углов в треугольнике \( MBN \): \( \angle MBN + \angle NBM + \angle MNB = 180^\circ \).
5. Получаем \( \alpha + \alpha + \angle MNB = 180^\circ \), следовательно, \( \angle MNB = 180^\circ — 2\alpha \).
6. Условие касательной: \( \angle MNT = \angle MBN \), то есть \( \angle MNT = \alpha \).

Таким образом, прямая \( AC \) является касательной к окружности, описанной около треугольника \( MBN \).

Пусть в треугольнике \( ABC \) проведена биссектрисса \( BK \). Обозначим угол \( \angle ABC = 2\alpha \). По условию задачи, точки \( M \) и \( N \) на сторонах \( BA \) и \( BC \) соответственно таковы, что \( \angle AKM = \angle CKN = \alpha \).

Сначала найдем углы треугольника \( MBN \):

1. Угол \( \angle MBN \) равен: \( \angle MBN = \angle ABC — \angle AKM = 2\alpha — \alpha = \alpha \).

2. Угол \( \angle NBM \) также равен: \( \angle NBM = \angle ABC — \angle CKN = 2\alpha — \alpha = \alpha \).

Теперь найдем угол \( \angle MNB \) в треугольнике \( MBN \):

3. Сумма углов в треугольнике \( MBN \) равна \( 180^\circ \): \( \angle MBN + \angle NBM + \angle MNB = 180^\circ \). Подставляем найденные углы: \( \alpha + \alpha + \angle MNB = 180^\circ \). Таким образом, получаем: \( \angle MNB = 180^\circ — 2\alpha \).

Теперь проверим условие касательной:

4. Если прямая \( AC \) является касательной к окружности, описанной около треугольника \( MBN \), то угол между касательной и радиусом в точке касания равен углу, противолежащему этому радиусу. То есть: \( \angle MNT = \angle MBN \).

5. Мы уже нашли, что \( \angle MBN = \alpha \). Таким образом, \( \angle MNT = \alpha \).

Таким образом, прямая \( AC \) действительно является касательной к окружности, описанной около треугольника \( MBN \).