ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 26.45 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

На стороне АС треугольника АВС отметили точку D такую, что \(\angle АВD = \angle ВСD\) и \(АВ = СD\). Биссектриса угла А пересекает сторону ВС в точке Е. Докажите, что \(DE \perp АВ\).

Обозначим \( \angle ABD = \alpha \) и \( \angle CBD = \beta \). Из условия \( \angle ABD = \angle BCD \) имеем \( \alpha = \beta \).

Так как \( AB = CD \) и \( \alpha = \beta \), треугольники \( ABD \) и \( CDB \) равны по критерию \( SSS \).

Следовательно, \( AD = BC \) и \( \angle ADB = \angle CDB \). Биссектрисса \( AE \) делит угол \( \angle A \) на два равных угла, и \( \angle ABE = \alpha \).

Поскольку \( \alpha = \beta \), это означает, что \( DE \) перпендикулярно \( AB \). Таким образом, \( DE \perp AB \).

Обозначим треугольник \( ABC \), где точка \( D \) находится на стороне \( AC \) так, что \( \angle ABD = \angle BCD \) и \( AB = CD \). Это условие указывает на то, что углы при вершинах \( B \) и \( D \) равны. Таким образом, мы можем утверждать, что треугольники \( ABD \) и \( CDB \) являются равнобедренными, поскольку у них есть равные углы и одна сторона равна другой. Следовательно, по критерию равенства треугольников \( SSS \) (сторона, сторона, сторона), эти треугольники равны.

Из равенства треугольников \( ABD \) и \( CDB \) следует, что \( AD = BC \) и \( \angle ADB = \angle CDB \). Это означает, что если провести биссектриссу угла \( A \), она будет делить угол \( \angle A \) на два равных угла, обозначим их как \( \angle DAE \) и \( \angle EAC \). Таким образом, биссектрисса \( AE \) делит угол \( A \) пополам, что является важным свойством, которое будет использоваться в дальнейшем.

Теперь рассмотрим углы, образованные биссектрисой и сторонами треугольника. Поскольку \( \angle ABD = \alpha \) и \( \angle BCD = \alpha \), следовательно, \( \angle ABE = \alpha \) и \( \angle CBE = \beta \), где \( \alpha = \beta \). Это приводит к тому, что \( DE \) является высотой в треугольниках \( ABD \) и \( CDB \) из точки \( D \) на сторону \( AB \). Так как углы \( ABE \) и \( CBE \) равны, и \( DE \) пересекает \( AB \) под прямым углом, мы можем заключить, что \( DE \perp AB \). Таким образом, мы доказали, что \( DE \) перпендикулярно \( AB \).