ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 26.46 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Точка D середина стороны АС треугольника АВС, DE и DF биссектрисы соответственно треугольников ABD и CBD. Отрезки BD и EF пересекаются в точке М. Докажите, что \(DM = \frac{1}{2}EF\).

1. Пусть \( D \) — середина \( AC \).
2. Биссектрисы \( DE \) и \( DF \) делят углы \( \angle ABD \) и \( \angle CBD \) соответственно.
3. По свойству биссектрисы: \( \frac{AE}{ED} = \frac{AB}{BD} \) и \( \frac{CF}{FD} = \frac{BC}{BD} \).
4. Поскольку \( D \) — середина, \( AD = DC \).
5. Треугольники \( DBM \) и \( DME \) подобны.
6. Из подобия следует: \( \frac{DM}{EF} = \frac{DB}{DE} \).
7. Так как \( DB = \frac{1}{2}AC \) и \( DE \) также пропорционально \( AC \), получаем \( DM = \frac{1}{2} EF \).

Рассмотрим треугольник \( ABC \) с точкой \( D \), которая является серединой стороны \( AC \). Это означает, что \( AD = DC \).

Пусть \( DE \) и \( DF \) — биссектрисы углов \( \angle ABD \) и \( \angle CBD \) соответственно. По свойству биссектрисы мы знаем, что они делят противоположные стороны в пропорции, равной отношению прилежащих сторон.

Для треугольника \( ABD \) имеем:

\[
\frac{AE}{ED} = \frac{AB}{BD}
\]

А для треугольника \( CBD \):

\[
\frac{CF}{FD} = \frac{BC}{BD}
\]

Так как \( D \) является серединой \( AC \), то \( AD = DC \) и обозначим это значение как \( x \). Таким образом, \( AC = AD + DC = 2x \).

Теперь рассмотрим отрезок \( EF \). Поскольку \( DE \) и \( DF \) являются биссектрисами, они пересекаются в точке \( M \), и отрезок \( EF \) будет параллелен основанию \( AB \) и \( BC \) за счет равенства углов, образованных биссектрисами.

Теперь обратим внимание на треугольники \( DBM \) и \( DME \). Эти треугольники являются подобными, так как имеют общий угол \( DBM \) и угол \( DME \) равен углу \( DBE \) (по свойству биссектрисы).

Из подобия треугольников \( DBM \) и \( DME \) следует, что:

\[
\frac{DM}{EF} = \frac{DB}{DE}
\]

Так как \( DB \) является половиной отрезка \( AC \) (поскольку \( D \) — середина), то \( DB = \frac{1}{2}AC \). Таким образом, \( DE \) также будет равен половине отрезка \( AC \).

Зная это, мы можем записать:

\[
DM = \frac{DB}{DE} \cdot EF
\]

Подставляем \( DB = \frac{1}{2}AC \) и получаем:

\[
DM = \frac{1}{2}EF
\]

Таким образом, мы доказали, что \( DM = \frac{1}{2}EF \).