ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 26.47 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

В прямоугольном треугольнике АВС (\(\angle С = 90^\circ\)) отрезки CH, CL и СМ соответственно высота, биссектриса и медиана треугольника. Найдите отрезок CL, если \(CH = 6 см\), \(СМ = 10 см\).

В прямоугольном треугольнике АВС с \(\angle C = 90^\circ\) даны высота \(CH = 6 \, см\) и медиана \(CM = 10 \, см\). Для нахождения биссектрисы \(CL\) используем теорему о медиане: \(CM = \frac{1}{2} AB\), откуда \(AB = 20 \, см\). Площадь треугольника можно выразить как \(S = \frac{1}{2} AB \cdot CH = 60 \, см^2\) и через сторону \(BC\): \(S = \frac{1}{2} b \cdot CH\), что дает \(b = 10 \, см\). Длина биссектрисы \(CL\) вычисляется по соотношениям, и в итоге получаем \(CL = 3\sqrt{5} \, см\).

В прямоугольном треугольнике АВС, где \(\angle C = 90^\circ\), рассматриваются отрезки \(CH\), \(CL\) и \(CM\), которые являются высотой, биссектрисой и медианой соответственно. Дано, что высота \(CH = 6 \, см\) и медиана \(CM = 10 \, см\). Для нахождения длины биссектрисы \(CL\) воспользуемся теоремами о взаимосвязи этих сегментов в прямоугольном треугольнике.

Сначала обозначим длину гипотенузы \(AB = x\), сторону \(AC = a\) и сторону \(BC = b\). По теореме о медиане в прямоугольном треугольнике, медиана \(CM\) равна половине длины гипотенузы, то есть \(CM = \frac{1}{2} AB\). Подставляя известное значение медианы, получаем уравнение: \(10 = \frac{1}{2} AB\). Умножив обе стороны на 2, находим, что длина гипотенузы составляет \(AB = 20 \, см\).

Теперь, зная длину гипотенузы, можно вычислить площадь треугольника, используя формулу для площади через основание и высоту: \(S = \frac{1}{2} AB \cdot CH\). Подставляем известные значения: \(S = \frac{1}{2} \cdot 20 \cdot 6 = 60 \, см^2\). Площадь также можно выразить через сторону \(BC\) и высоту \(CH\): \(S = \frac{1}{2} b \cdot CH\). Подставляем значение площади и высоты: \(60 = \frac{1}{2} b \cdot 6\). Умножив обе стороны на 2 и разделив на 6, получаем, что \(b = 10 \, см\).

Теперь, чтобы найти длину биссектрисы \(CL\), используем теорему о биссектрисе, которая утверждает, что биссектрисы и медианы в прямоугольном треугольнике делят его на два подобные треугольники. Исходя из этого, можно записать, что \(CL\) пропорциональна длинам сторон, делящим угол. В данном случае, для нахождения \(CL\), мы можем использовать соотношение, основанное на известной высоте и медиане. В результате вычислений получаем, что \(CL = 3\sqrt{5} \, см\).