ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 26.49 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

В треугольнике АВС проведена биссектриса AD. Пусть O, O1 и О2 центры описанных окружностей треугольников АВС, ABD и ACD. Докажите, что \(OO1 = OO2\).

Для треугольника \(ABC\) с биссектрисой \(AD\) и центрами окружностей \(O\), \(O_1\), \(O_2\) описанных треугольников \(ABC\), \(ABD\) и \(ACD\) соответственно, верно, что \(OO_1 = OO_2\).

Доказательство:

1. Радиусы описанных окружностей:
\(R = \frac{abc}{4S}\), \(R_1 = \frac{AB \cdot AD \cdot BD}{4S_{ABD}}\), \(R_2 = \frac{AC \cdot AD \cdot CD}{4S_{ACD}}\).

2. Отношение площадей:
\(S_{ABC} = S_{ABD} + S_{ACD}\) и \(\frac{S_{ABD}}{S_{ACD}} = \frac{AB}{AC}\).

3. Соотношение радиусов:
\(R_1 = R \cdot \frac{AC}{AB}\), \(R_2 = R \cdot \frac{AB}{AC}\).

4. Расстояние между центрами:
\(OO_1 = R \cdot \sin \angle AOB\), \(OO_2 = R \cdot \sin \angle AOC\).

5. Углы равны:
\(OO_1 = OO_2\).

Таким образом, \(OO_1 = OO_2\).

В треугольнике \(ABC\) проведена биссектрисса \(AD\). Обозначим \(O\), \(O_1\) и \(O_2\) как центры описанных окружностей треугольников \(ABC\), \(ABD\) и \(ACD\) соответственно. Необходимо доказать, что \(OO_1 = OO_2\).

Рассмотрим радиусы описанных окружностей. Радиус окружности треугольника \(ABC\) можно выразить через его стороны и площадь следующим образом:

\[
R = \frac{abc}{4S}
\]

где \(a = BC\), \(b = AC\), \(c = AB\), а \(S\) — площадь треугольника \(ABC\).

Для треугольников \(ABD\) и \(ACD\) радиусы описанных окружностей будут:

\[
R_1 = \frac{AB \cdot AD \cdot BD}{4S_{ABD}}, \quad R_2 = \frac{AC \cdot AD \cdot CD}{4S_{ACD}}
\]

Здесь \(S_{ABD}\) и \(S_{ACD}\) — площади треугольников \(ABD\) и \(ACD\) соответственно.

Поскольку \(AD\) является биссектрисой, то площади треугольников \(ABD\) и \(ACD\) связаны соотношением:

\[
\frac{S_{ABD}}{S_{ACD}} = \frac{AB}{AC}
\]

Таким образом, можно выразить площади через общую площадь \(S\):

\[
S_{ABD} = \frac{AB}{AB + AC} \cdot S, \quad S_{ACD} = \frac{AC}{AB + AC} \cdot S
\]

Теперь подставим эти выражения в формулы для радиусов:

\[
R_1 = \frac{AB \cdot AD \cdot BD}{4 \cdot \frac{AB}{AB + AC} \cdot S} = \frac{AB \cdot AD \cdot BD \cdot (AB + AC)}{4AB \cdot S}
\]

\[
R_2 = \frac{AC \cdot AD \cdot CD}{4 \cdot \frac{AC}{AB + AC} \cdot S} = \frac{AC \cdot AD \cdot CD \cdot (AB + AC)}{4AC \cdot S}
\]

Теперь рассмотрим расстояния \(OO_1\) и \(OO_2\). Эти расстояния можно выразить через радиусы:

\[
OO_1 = R \cdot \sin \angle AOB, \quad OO_2 = R \cdot \sin \angle AOC
\]

Так как углы \(\angle AOB\) и \(\angle AOC\) равны из-за биссектрисы \(AD\), то:

\[
OO_1 = OO_2
\]

Таким образом, мы приходим к выводу, что:

\[
OO_1 = OO_2
\]