ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 26.50 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы
В треугольнике АВС известно, что \(\cos\angle ВАС = \frac{1}{2}\), \(АВ = 2 см\), \(АС = 3 см\). Точку D отметили на продолжении стороны АС так, что точка С находится между точками А и D, \(CD = 3 см\). Найдите отношение радиуса окружности, описанной около треугольника АВС, к радиусу окружности, вписанной в треугольник ABD.
Для решения задачи:
1. Угол \( \angle BAC = 60^\circ \), так как \( \cos \angle BAC = \frac{1}{2} \).
2. Находим сторону \( BC \) по формуле косинусов:
\( BC^2 = AB^2 + AC^2 — 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos \angle BAC \)
\( BC^2 = 2^2 + 3^2 — 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \frac{1}{2} = 4 + 9 — 6 = 7 \)
\( BC = \sqrt{7} \).
3. Площадь треугольника \( ABC \):
\( S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin \angle BAC \)
\( \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \)
\( S = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3} \).
4. Радиус описанной окружности \( R \):
\( R = \frac{abc}{4S} \)
\( a = \sqrt{7}, b = 3, c = 2 \)
\( R = \frac{\sqrt{7} \cdot 3 \cdot 2}{4 \cdot 3\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{7}}{12\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{7}}{2\sqrt{3}} \).
5. Находим \( AD = AC + CD = 3 + 3 = 6 \).
6. Площадь треугольника \( ABD \):
\( S_{ABD} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AD \cdot \sin \angle BAC = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3} \).
7. Полупериметр \( p_{ABD} = \frac{AB + AD + BD}{2} \).
Находим \( BD \) по теореме косинусов:
\( BD^2 = AB^2 + AD^2 — 2 \cdot AB \cdot AD \cdot \cos \angle BAC \)
\( BD^2 = 2^2 + 6^2 — 2 \cdot 2 \cdot 6 \cdot \frac{1}{2} = 4 + 36 — 12 = 28 \)
\( BD = 2\sqrt{7} \).
\( p_{ABD} = \frac{2 + 6 + 2\sqrt{7}}{2} = 4 + \sqrt{7} \).
8. Радиус вписанной окружности \( n \):
\( n = \frac{S_{ABD}}{p_{ABD}} = \frac{3\sqrt{3}}{4 + \sqrt{7}} \).
9. Отношение радиусов:
\( \frac{R}{n} = \frac{\frac{\sqrt{7}}{2\sqrt{3}}}{\frac{3\sqrt{3}}{4 + \sqrt{7}}} = \frac{\sqrt{7}(4 + \sqrt{7})}{6} = \frac{7 + 4\sqrt{7}}{9} \).
Ответ: \( \frac{R}{n} = \frac{7 + 4\sqrt{7}}{9} \, \text{см} \)
В треугольнике \( ABC \) известно, что \( \cos \angle BAC = \frac{1}{2} \), \( AB = 2 \, \text{см} \), \( AC = 3 \, \text{см} \). Угол \( \angle BAC \) равен \( 60^\circ \) (так как \( \cos 60^\circ = \frac{1}{2} \)).
Для нахождения стороны \( BC \) используем закон косинусов:
\[
BC^2 = AB^2 + AC^2 — 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos \angle BAC
\]
Подставляем известные значения:
\[
BC^2 = 2^2 + 3^2 — 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \frac{1}{2}
\]
\[
BC^2 = 4 + 9 — 6 = 7
\]
\[
BC = \sqrt{7} \, \text{см}
\]
Теперь найдем площадь треугольника \( ABC \) с помощью формулы:
\[
S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin \angle BAC
\]
Сначала определим \( \sin \angle BAC \):
\[
\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}
\]
Теперь подставим в формулу площади:
\[
S = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3} \, \text{см}^2
\]
Теперь найдем радиус описанной окружности \( R \) треугольника \( ABC \):
\[
R = \frac{abc}{4S}
\]
где \( a = BC = \sqrt{7} \), \( b = AC = 3 \), \( c = AB = 2 \).
Подставляем значения:
\[
R = \frac{\sqrt{7} \cdot 3 \cdot 2}{4 \cdot 3\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{7}}{12\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{7}}{2\sqrt{3}} \, \text{см}
\]
Теперь переходим к треугольнику \( ABD \). Найдем \( AD \):
\[
AD = AC + CD = 3 + 3 = 6 \, \text{см}
\]
Теперь найдем площадь треугольника \( ABD \):
\[
S_{ABD} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AD \cdot \sin \angle BAC
\]
Подставляем значения:
\[
S_{ABD} = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3} \, \text{см}^2
\]
Теперь найдем полупериметр \( p_{ABD} \):
\[
p_{ABD} = \frac{AB + AD + BD}{2}
\]
Сначала находим \( BD \) по теореме косинусов:
\[
BD^2 = AB^2 + AD^2 — 2 \cdot AB \cdot AD \cdot \cos \angle BAC
\]
\[
BD^2 = 2^2 + 6^2 — 2 \cdot 2 \cdot 6 \cdot \frac{1}{2}
\]
\[
BD^2 = 4 + 36 — 12 = 28
\]
\[
BD = 2\sqrt{7} \, \text{см}
\]
Теперь подставим в формулу полупериметра:
\[
p_{ABD} = \frac{2 + 6 + 2\sqrt{7}}{2} = 4 + \sqrt{7} \, \text{см}
\]
Теперь найдем радиус вписанной окружности \( n \):
\[
n = \frac{S_{ABD}}{p_{ABD}} = \frac{3\sqrt{3}}{4 + \sqrt{7}} \, \text{см}
\]
Теперь находим отношение радиусов \( R \) и \( n \):
\[
\frac{R}{n} = \frac{\frac{\sqrt{7}}{2\sqrt{3}}}{\frac{3\sqrt{3}}{4 + \sqrt{7}}} = \frac{\sqrt{7}(4 + \sqrt{7})}{6}
\]
После упрощения получаем:
\[
\frac{R}{n} = \frac{7 + 4\sqrt{7}}{9} \, \text{см}
\]
Ответ: \( \frac{R}{n} = \frac{7 + 4\sqrt{7}}{9} \, \text{см} \)
