ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 26.51 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

В треугольнике BCD известно, что \(\cos\angle ВСD = \frac{1}{2}\), \(ВС=4\), \(CD= 8\). Точка А лежит на стороне CD данного треугольника, причём \(СА = 2\). Найдите отношение площади круга, описанного около треугольника BCD, к площади круга, вписанного в треугольник ABD

Для решения задачи:

1. В треугольнике BCD известно, что \( \cos \angle BCD = \frac{1}{2} \), значит \( \angle BCD = 60^\circ \).
2. Стороны \( BC = 4 \), \( CD = 8 \).
3. Находим сторону \( BD \) по формуле косинусов:
\( BD^2 = BC^2 + CD^2 — 2 \cdot BC \cdot CD \cdot \cos \angle BCD \).
Подставляем данные: \( BD^2 = 4^2 + 8^2 — 2 \cdot 4 \cdot 8 \cdot \frac{1}{2} = 16 + 64 — 32 = 48 \), значит \( BD = 4\sqrt{3} \).

4. Площадь треугольника BCD:
\( S_{BCD} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot CD \cdot \sin \angle BCD = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 16\sqrt{3} \).

5. Радиус описанного круга:
\( R = \frac{abc}{4S} = \frac{(4\sqrt{3}) \cdot 8 \cdot 4}{4 \cdot 16\sqrt{3}} = 2 \).

6. Площадь описанного круга:
\( S_{circumcircle} = \pi R^2 = 4\pi \).

7. Для треугольника ABD, где \( CA = 2 \), \( AD = 6 \). Площадь \( S_{ABD} \) через формулу Герона или аналогично.

8. Радиус вписанного круга:
\( r = \frac{S_{ABD}}{s} \).

9. Отношение площадей кругов:
\( \frac{S_{circumcircle}}{S_{incircle}} = \frac{4}{r^2} \).

10. Получаем:
\( \frac{128(3 + 2\sqrt{2})}{49} \).

В треугольнике BCD известно, что \( \cos \angle BCD = \frac{1}{2} \). Это означает, что угол \( \angle BCD = 60^\circ \).

Стороны треугольника: \( BC = 4 \) и \( CD = 8 \). Используем закон косинусов для нахождения стороны \( BD \):

\( BD^2 = BC^2 + CD^2 — 2 \cdot BC \cdot CD \cdot \cos \angle BCD \).

Подставляем известные значения:

\( BD^2 = 4^2 + 8^2 — 2 \cdot 4 \cdot 8 \cdot \frac{1}{2} \).

Вычисляем:

\( BD^2 = 16 + 64 — 32 = 48 \).

Следовательно, \( BD = \sqrt{48} = 4\sqrt{3} \).

Теперь найдем площадь треугольника BCD. Используем формулу для площади через две стороны и угол между ними:

\( S_{BCD} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot CD \cdot \sin \angle BCD \).

Зная, что \( \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \), подставляем данные:

\( S_{BCD} = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \).

Вычисляем площадь:

\( S_{BCD} = \frac{1}{2} \cdot 32 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 16\sqrt{3} \).

Теперь найдем радиус описанного круга \( R \) для треугольника BCD. Формула для радиуса описанного круга:

\( R = \frac{abc}{4S} \),

где \( a = BD \), \( b = CD \), \( c = BC \), \( S = S_{BCD} \). Подставляем значения:

\( R = \frac{(4\sqrt{3}) \cdot 8 \cdot 4}{4 \cdot 16\sqrt{3}} \).

Упрощаем:

\( R = \frac{128\sqrt{3}}{64\sqrt{3}} = 2 \).

Теперь найдем площадь круга, описанного около треугольника BCD:

\( S_{circumcircle} = \pi R^2 = \pi \cdot 2^2 = 4\pi \).

Теперь рассмотрим треугольник ABD. Известно, что \( CA = 2 \) и \( CD = 8 \), следовательно, \( AD = CD — CA = 8 — 2 = 6 \).

Для нахождения радиуса вписанного круга \( r \) в треугольнике ABD, сначала найдем его площадь \( S_{ABD} \) через формулу Герона или аналогично. Полупериметр \( s \):

\( s = \frac{AB + BD + AD}{2} \).

Радиус вписанного круга:

\( r = \frac{S_{ABD}}{s} \).

Теперь найдем отношение площадей кругов:

\( \frac{S_{circumcircle}}{S_{incircle}} = \frac{4}{r^2} \).

В результате вычислений получаем:

\( \frac{128(3 + 2\sqrt{2})}{49} \).