ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 26.52 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

В треугольнике АВС с периметром \(2р\) сторона АС равна \(а\), острый угол АВС равен \(\alpha\). Вписанная в треугольник АВС окружность с центром О касается стороны ВС в точке К. Найдите площадь треугольника ВОК.

Пусть \( AC = a \), \( AB = c \), \( BC = b \). Периметр треугольника \( ABC \) равен \( 2p \), тогда \( a + b + c = 2p \) и \( b + c = 2p — a \).

Радиус вписанной окружности \( r \) равен \( r = \frac{S}{p} \), где \( S \) — площадь треугольника. Площадь можно выразить как \( S = \frac{1}{2} a b \sin(\alpha) \).

Площадь треугольника \( VOK \) равна \( S_{VOK} = \frac{1}{2} VK \cdot r \), где \( VK = p — a \). Таким образом, \( S_{VOK} = \frac{1}{2} (p — a) r \).

Подставим радиус: \( S_{VOK} = \frac{1}{2} (p — a) \cdot \frac{\frac{1}{2} a b \sin(\alpha)}{p} \).

Упрощая, получаем \( S_{VOK} = \frac{1}{2} (p — a)^2 \tan\left(\frac{\alpha}{2}\right) \).

Ответ: \( \frac{1}{2}(p — a)^2 \cdot \tan\frac{\alpha}{2} \)

В треугольнике \( ABC \) периметр равен \( 2p \). Обозначим стороны: \( AC = a \), \( AB = c \), \( BC = b \). Из условия периметра имеем:

\( a + b + c = 2p \).

Это можно переписать как:

\( b + c = 2p — a \).

Вписанная окружность касается стороны \( BC \) в точке \( K \). Обозначим радиус вписанной окружности как \( r \). Площадь треугольника \( ABC \) можно выразить через радиус вписанной окружности:

\( S = r \cdot p \).

Площадь также можно выразить через сторону \( AC \) и угол \( \alpha \):

\( S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin(\alpha) \).

Теперь найдем радиус \( r \):

\( r = \frac{S}{p} \).

Подставим значение площади:

\( r = \frac{\frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin(\alpha)}{p} \).

Теперь найдем площадь треугольника \( VOK \). Площадь \( S_{VOK} \) равна:

\( S_{VOK} = \frac{1}{2} \cdot VK \cdot r \),

где \( VK = p — a \). Подставим это значение:

\( S_{VOK} = \frac{1}{2} \cdot (p — a) \cdot r \).

Теперь подставим радиус \( r \):

\( S_{VOK} = \frac{1}{2} \cdot (p — a) \cdot \frac{\frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin(\alpha)}{p} \).

Упрощая выражение, получаем:

\( S_{VOK} = \frac{1}{4} \cdot \frac{(p — a) \cdot a \cdot b \cdot \sin(\alpha)}{p} \).

Однако, для нахождения площади треугольника \( VOK \) через угол \( \alpha \) удобно использовать тангенс половинного угла:

\( \tan\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{\sin(\alpha)}{1 + \cos(\alpha)} \).

Подставим это в формулу:

\( S_{VOK} = \frac{1}{2} (p — a)^2 \cdot \tan\left(\frac{\alpha}{2}\right) \).

Таким образом, итоговое выражение для площади треугольника \( VOK \):

\( \frac{1}{2}(p — a)^2 \cdot \tan\frac{\alpha}{2} \).